星期四 (解析几何) 2022年____月____日解析几何知识(命题意图：考查利用平面向量的数量积的坐标运算探求曲线的形状，考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查学生的整理和计算能力.)设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a＝(mx，y＋1)，向量b＝(x，y－1)，a⊥b，动点M(x，y)的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；(2)已知m＝，证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB(O为坐标原点)，并求该圆的方程.解 (1)因为a⊥b，所以a·b＝0，即(mx，y＋1)·(x，y－1)＝0，故mx2＋y2－1＝0，即mx2＋y2＝1.当m＝0时，该方程表示两条直线；当m＝1时，该方程表示圆；当m>0且m≠1时，该方程表示椭圆；当m<0时，该方程表示双曲线.(2)当m＝时，轨迹E的方程为＋y2＝1，设圆的方程为x2＋y2＝r2(0<r<1)，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y＝kx＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以＝r，即t2＝r2(1＋k2).①因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，整理得(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0.②由方程组消去y得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0.③由根与系数的关系得2\n代入②式并整理得(1＋k2)－＋t2＝0，即5t2＝4＋4k2.结合①式有5r2＝4，r＝∈(0，1)，当切线斜率不存在时，x2＋y2＝也满足题意，故所求圆的方程为x2＋y2＝.2
