星期六 (综合限时练) 2022年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1．(本小题满分12分)已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2)．记f(x)＝m·n.(1)若f(a)＝，求cos的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)－k在上有零点，求实数k的取值范围．解 f(x)＝sincos＋cos2＝sin＋.(1)由已知f(a)＝，得sin＋＝，于是a＝4kπ＋，k∈Z，∴cos＝cos＝1.(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)＝sin＋的图象，当x∈时，－≤x－≤π，所以－≤sin≤1，所以0≤sin＋≤，若函数y＝g(x)－k在上有零点，则k∈.2．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D-A1C-E的正弦值．(1)证明 连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解 由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设CA＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，7\n＝(1，1，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，2)．设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的一个法向量，则即可取n＝(1，－1，－1)．同理，设m是平面A1CE的一个法向量，则可取m＝(2，1，－2)．从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D-A1C-E的正弦值为.3．(本小题满分12分)某超市计划在春节当天从有抽奖资格的顾客中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金为30元；三球号码构成等差数列的为二等奖，奖金为60元；三球号码分别为1，6，8为一等奖，奖金为240元；其余情况无奖金．(1)求顾客甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；(2)若顾客乙幸运地先后获得四次抽奖机会，求他得奖次数η的方差是多少？解 (1)奖金ξ的所有可能取值为0，30，60，240.顾客抽奖一次，基本事件总数为C＝120，P(ξ＝30)＝＝＝，P(ξ＝60)＝＝＝，P(ξ＝240)＝，P(ξ＝0)＝1－－－＝，∴ξ的分布列为ξ03060240P∴E(ξ)＝0×＋30×＋60×＋240×＝26.7\n(2)顾客乙一次抽奖中奖的概率P＝1－＝.四次抽奖相互独立，所以得奖次数η～B，∴D(η)＝4××＝.4．(本小题满分12分)(2022·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求的值；(ⅱ)求△ABQ面积的最大值．解 (1)由题意知2a＝4，则a＝2，又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.(ⅰ)设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．因为＋y＝1，又＋＝1，即＝1，所以λ＝2，即＝2.(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，7\n可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①则有x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|＝.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝＝＝2.设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1，因此S＝2＝2，故S≤2，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，所在△ABQ面积的最大值为6.5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(a＋x)－ln(a－x)(a＞0)．(1)曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x，求a的值；(2)当x≥0时，f(x)≥2x＋，试求a的取值范围．解 (1)已知f(x)＝ln(a＋x)－ln(a－x)(a＞0)，则f′(x)＝＋＝，f′(0)＝＝，由题意知f′(0)＝2，7\n∴＝2，∴a＝1.(2)令g(x)＝f(x)－2x－(0≤x＜a)，则g′(x)＝′＝f′(x)－2－2x2＝－2－2x2＝[x4－(a2－1)x2＋a－a2]．①当0＜a≤1时，a2－1≤0，a－a2≥0.当0≤x＜a时，x4－(a2－1)x2＋a－a2≥0,即g′(x)≥0，∴函数g(x)在[0，a)上为增函数，∴g(x)≥g(0)＝0，即当0＜a≤1时，f(x)≥2x＋.②当a＞1时，a2－1＞0，a－a2＜0，∴0＜x＜＜a时，x2－(a2－1)＜0，x2[x2－(a2－1)]＜0，从而x4－(a2－1)x2＋a－a2＜0，即g′(x)＜0，从而函数g(x)在(0，)上为减函数，∴当0＜x＜时，g(x)＜g(0)＝0，这与题意不符．综上所述，当x≥0时，f(x)≥2x＋，a的取值范围为0＜a≤1.6．请同学从下面所给的三题中选定一题作答A．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若＝，求的值．(1)证明 连接OD，可得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC，∴OD∥AE.又AE⊥DE，∴DE⊥OD.而OD为半径，∴DE是⊙O的切线．(2)解 过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH＝∠CAB，cos∠DOH＝cos∠CAB＝＝.7\n设OD＝5x，则AB＝10x，OH＝2x，∴AH＝7x，由△AED≌△AHD，∴AE＝AH＝7x，又由△AEF∽△DOF，得AF∶DF＝AE∶OD＝，故＝.B．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，P是直线2x＋2y－1＝0上的一点，Q是射线OP上的一点，满足|OP|·|OQ|＝1.(1)求Q点的轨迹；(2)设点M(x，y)是(1)中轨迹上任意一点，求x＋7y的最大值．解 (1)以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，设点Q，P的极坐标分别为(ρ，θ)，(ρ1，θ)，由题意ρ·ρ1＝1，ρ≠0，得ρ1＝，∴点P直角坐标为，P在直线2x＋2y－1＝0上，∴＋－1＝0，ρ＝2cosθ＋2sinθ，化成直角坐标方程得(x－1)2＋(y－1)2＝2(x≠0，且y≠0)，∴Q点的轨迹是以(1，1)为圆心，为半径的圆(原点除外)．(2)Q点轨迹的参数方程为(φ为参数，φ≠)，则x＋7y＝1＋cosφ＋7＋7sinφ＝8＋10sin(φ＋α)，其中tanα＝，∴x＋7y的最大值是18.C．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数f(x)＝|x－a|，a＜0.(1)证明：f(x)＋f≥2；(2)若不等式f(x)＋f(2x)＜的解集非空，求a的取值范围．(1)证明 f(x)＋f＝|x－a|＋≥＝＝|x|＋≥2.7\n(2)解 y＝f(x)＋f(2x)＝|x－a|＋|2x－a|＝函数图象为：当x＝时，ymin＝－，依题意，－＜，则a＞－1，∴a的取值范围是－1＜a＜0.7
