星期六 (综合限时练) 2022年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinCcosC－cos2C＝，且c＝3.(1)求角C；(2)若向量m＝(1，sinA)与n＝(2，sinB)共线，求a，b的值.解 (1)∵sinCcosC－cos2C＝，∴sin2C－cos2C＝1，即sin＝1，∵0<C<π，∴2C－＝，解得C＝.(2)∵m与n共线，∴sinB－2sinA＝0，由正弦定理＝得b＝2a.①∵c＝3，由余弦定理得9＝a2＋b2－2abcos，②联立方程①②得2.(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC＝2AP，M为PD的中点.(1)求证：CM∥平面PAB；(2)求证：平面PAC⊥平面PCD.证明 (1)取AP的中点N，连接MN，BN，∵M为PD的中点，7\n∴MN∥AD，MN＝AD，∵AD∥BC，∴MN∥BC，∵AD＝2BC，∴BC＝AD＝MN，∴四边形MNBC是平行四边形，∴CM∥BN，∵BN⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，∴CM∥平面PAB.(2)∵底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB，∠CAD＝45°，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD＝2AB2，∴CD＝AB＝AC，AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD为等腰直角三角形，∠ACD＝90°，∴CD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，∵PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，∵CD⊂平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD.3.(本小题满分12分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x(℃)1011131286就诊人数y(个)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a；7\n(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？解 (1)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中，抽到相邻两个月份的数据的情况有5种，所以P(A)＝＝.(2)由数据求得x＝11，y＝24，由公式求得b＝，再由a＝y－bx＝－，所以y关于x的线性回归方程为＝x－.(3)当x＝10时，＝，<2；同样，当x＝6时，＝，<2，所以该小组所得线性回归方程是理想的.4.(本小题满分12分)已知A(－2，0)，B(2，0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明.解 (1)由题意可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，F(c，0).由题意知解得b＝.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)以BD为直径的圆与直线PF相切.证明如下：由题意可知，c＝1，F(1，0)，直线AP的方程为y＝－x－2.则点D坐标为(2，－4)，BD的中点E的坐标为(2，－2)，圆的半径r＝2.7\n由得7x2＋16x＋4＝0.设点P的坐标为(x0，y0)，则因为点F坐标为(1，0)，直线PF的斜率为，直线PF的方程为4x－3y－4＝0，点E到直线PF的距离d＝＝2，所以d＝r，故以BD为直径的圆与直线PF相切.5.(本小题满分12分)设a∈R，函数f(x)＝lnx－ax.(1)讨论函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知x1＝(e为自然对数的底数)和x2是函数f(x)的两个不同的零点，求a的值并证明：x2>e.解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝.①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，无极值.②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝.当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数.所以当x＝时，f(x)有极大值，极大值为f＝ln－1＝－lna－1.综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为(0，＋∞)，无极值；当a>0时，f(x)的递增区间为，递减区间为，极大值为－lna－1.(2)因为x1＝是函数f(x)的零点，所以f()＝0，即－a＝0，解得a＝＝，7\n所以f(x)＝lnx－x.因为f(e)＝－>0，f(e)＝－<0，所以f(e)f(e)<0.由(1)知，函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在区间上有唯一零点，因此x2>e.6.请同学从下面所给的三题中选定一题作答A.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F.(1)求证：∠PEC＝∠PDF；(2)求PE·PF的值.(1)证明 连接BD，则BD⊥AD，又EP⊥AP，∴∠PDF＋∠PDB＝∠PEA＋∠EAP＝90°，∵A、B、C、D四点共圆，∠PDB＝∠EAP，∴∠PEC＝∠PDF.(2)解 ∵∠PEC＝∠PDF，∠EPC＝∠DPF，∴△PEC∽△PDF，∴＝，即PE·PF＝PC·PD，又∵PC·PD＝PB·PA＝2(2＋10)＝24，∴PE·PF＝24.7\nB.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数).(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.解 (1)l的普通方程为y＝(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组解得l与C1的交点为A(1，0)，B，则|AB|＝1.(2)C2的参数方程为(θ为参数)，故点P的坐标是，从而点P到直线l的距离是d＝＝，由此当sin＝－1时，d取得最小值，且最小值为(－1).C.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设不等式|2x－1|<1的解集是M，a，b∈M.(1)试比较ab＋1与a＋b的大小；(2)设max表示数集A的最大数.h＝max，求证：h≥2.解 由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0<x<1，所以M＝{x|0<x<1}.7\n(1)由a，b∈M得0<a<1，0<b<1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，故ab＋1>a＋b.(2)证明 由h＝max得h≥，h≥，h≥，所以h3≥··＝≥8，当且仅当a＝b时等号成立，故h≥2.7
