星期三 (解析几何) 2022年____月____日解析几何知识(命题意图：考查直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求解以及等腰直角三角形等条件的转化．)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的两焦点分别为F1，F2，点D为椭圆E上任意一点，△DF1F2面积最大值为1，椭圆E的离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)已知过点(1，0)的直线l与椭圆E相交于A、B两点，试问：在直线x＝2上是否存在点P，使得△PAB是以点P为直角的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标及直线l的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设D点坐标为(xD，yD)，因为|yD|≤b，所以S△DF1F2＝×2c×|yD|≤bc＝1.又e＝＝，∴a＝，b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)当直线l的斜率为0时，不存在符合题意的点P；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝1＋my，代入＋y2＝1，整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0.假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－.假设存在符合题意的点P(xP，yP)，则|AB|＝＝2\n＝＝·＝.设线段AB的中点M(x0，y0)，则y0＝＝－，所以x0＝1＋my0＝.由题意知AB⊥PM，且|PM|＝|AB|.由AB⊥PM得kAB·kPM＝－1，即·＝－1，所以y0－yP＝－m(x0－xP)．又xP＝2，所以|PM|＝＝·＝·，由|PM|＝|AB|，得·＝×，整理得＝，方程无解．故在直线x＝2上不存在点P，使得△PAB是以点P为直角的等腰直角三角形．2
