星期三 (解析几何) 2022年____月____日解析几何知识(命题意图：考查椭圆方程的求取，考查直线与椭圆相交情况下的弦长问题、定值问题等．)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8y的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知P(2，3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝2.由＝，a2＝c2＋b2，得a＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为y＝x＋t，将其代入＋＝1，得x2＋tx＋t2－12＝0，由Δ＞0得－4＜t＜4，由根与系数的关系得x1＋x2＝－t，x1·x2＝t2－12，∴四边形APBQ的面积为S＝×6×|x1－x2|＝3，∴当t＝0时，Smax＝12.②当∠APQ＝∠BPQ，则PA与PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，PA的直线方程为y－3＝k(x－2)．由得(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，x1＋2＝，同理PB的直线方程为y－3＝－k(x－2)，可得2\nx2＋2＝＝，∴x1＋x2＝，x1－x2＝，∴kAB＝＝＝＝，所以AB的斜率为定值.2
