星期四 (解析几何) 2022年____月____日解析几何知识(命题意图：考查利用圆的知识与椭圆的定义求椭圆方程，考查直线与椭圆联立、弦长公式、三角形面积公式以及基本不等式的应用等.)已知圆E：x2＋＝经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线.直线l交椭圆C于M，N两点，且＝λ(λ≠0).(1)求椭圆C的方程；(2)当三角形AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程.解 (1)如图，圆E经过椭圆C的左、右焦点F1，F2，∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，∴AF2⊥F1F2.∵x2＋＝，∴x＝±，∴c＝.|AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1，2a＝|AF1|＋|AF2|＝4.∵a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，∴椭圆C的方程＋＝1.(2)点A的坐标(，1)，∵＝λ(λ≠0)，∴直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋m.∴x2＋mx＋m2－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2，2\nΔ＝2m2－4m2＋8>0，∴－2<m<2.|MN|＝|x2－x1|＝·＝，点A到直线l的距离d＝.S△AMN＝|MN|·d＝×|m|＝·≤×＝，当且仅当4－m2＝m2，即m＝±，直线l的方程为y＝x±.2
