考点一 二项展开式中项的系数1．(2022·新课标全国Ⅰ，10)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10B．20C．30D．60解析 Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴C(x2＋x)3y2的第r＋1项为CCx2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数为CC＝30.答案 C2．(2022·四川，2)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )A．30B．20C．15D．10解析 只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C＝15，故选C.答案 C3．(2022·湖南，4)的展开式中x2y3的系数是( )A．－20B．－5C．5D．20解析 展开式的通项为Tk＋1＝C(x)5－k·(－2y)k＝(－1)k·22k－5Cx5－k·yk，令5－k＝2，得k＝3.则展开式中x2y3的系数为(－1)3·22×3－5C＝－20，故选A.答案 A4．(2022·新课标全国Ⅱ，5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )A．－4B．－3C．－2D．－1解析 已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为C＋a·C＝5，解得a＝－1，故选D.答案 D5．(2022·湖北，5)设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝( )A．0B．1C．11D．12解析 由于51＝52－1，(52－1)2012＝C522012－C522011＋…－C521＋1，所以只需1＋a能被13整除，0≤a<13，所以a＝12，选D.答案 D5\n6．(2022·北京，9)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________(用数字作答)．解析 展开式通项为：Tr＋1＝C25－rxr，∴当r＝3时，系数为C·25－3＝40.答案 407．(2022·天津，12)在的展开式中，x2的系数为________．解析 的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r；当6－2r＝2时，r＝2，所以x2的系数为C＝.答案 8．(2022·新课标全国Ⅰ，13)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字填写答案)．解析 由二项展开式公式可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C－C＝C－C＝8－28＝－20.答案 －209．(2022·新课标全国Ⅱ，13)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________(用数字作答)．解析 Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，得r＝3，∴Ca3＝15，即a3＝15，∴a3＝，∴a＝.答案 10．(2022·四川，11)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________(用数字作答)．解析 设二项式(x＋y)5的展开式的通项公式为Tr＋1，则Tr＋1＝Cx5－r·yr，令r＝3，则含x2y3的项的系数是C＝10.答案 1011．(2022·浙江，14)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.解析 由等式两边对应项系数相等，即5\n⇒a3＝10.答案 10考点二 二项展开式中的常数项1．(2022·湖南，6)已知的展开式中含x的项的系数为30，则a＝( )A.B．－C．6D．－6解析 的展开式通项Tr＋1＝Cx(－1)rar·x－＝(－1)rarCx－r，令－r＝，则r＝1，∴T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6，故选D.答案 D2．(2022·辽宁，7)使得(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( )A．4B．5C．6D．7解析 展开式的通项公式为Tk＋1＝C(3x)n－kk＝C3n－kxn－.由n－＝0得n＝，所以当k＝2时，n有最小值5，选B.答案 B3．(2022·陕西，8)设函数f(x)＝则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )A．－20B．20C．－15D．15解析 当x>0时，f[f(x)]＝＝的展开式中，常数项为C3(－)3＝－20.所以选A.答案 A4．(2022·重庆，4)的展开式中常数项为( )A.B.C.D．105解析 二项展开式的通项为Tk＋1＝C()8－kk＝Cx4－k，令4－k＝0，5\n解得k＝4，所以T5＝C＝，故选B.答案 B5．(2022·浙江，11)设二项式的展开式中常数项为A，则A＝________.解析 二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x·(－1)r·x＝(－1)r·C·x.令＝0，解得r＝3，故展开式的常数项为－C＝－10，故A为－10.答案 －10考点三 二项式定理的综合应用1．(2022·陕西，4)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝( )A．4B．5C．6D．7解析 由题意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.答案 C2．(2022·湖北，2)若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝( )A．2B.C．1D.解析 Tr＋1＝C·(2x)7－r·＝27－rCar·.令2r－7＝3，则r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1，故选C.答案 C3．(2022·浙江，5)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( )A．45B．60C．120D．210解析 在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.从而f(3，0)＝C＝20，f(2，1)＝C·C＝60，f(1，2)＝C·C＝36，f(0，3)＝C＝4，故选C.答案 C5\n4．(2022·安徽，13)设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝________．解析 根据题意知a0＝1，a1＝3，a2＝4，结合二项式定理得即解得a＝3.答案 35．(2022·山东，14)若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．解析 Tr＋1＝C(ax2)6－r＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，则r＝3.∴Ca3b3＝20，即ab＝1.∴a2＋b2≥2ab＝2，即a2＋b2的最小值为2.答案 26．(2022·大纲全国，13)的展开式中x2y2的系数为________(用数字作答)．解析 Tr＋1＝C··＝(－1)r·C·x·y，令得r＝4.所以展开式中x2y2的系数为(－1)4·C＝70.答案 705
