考点一 函数的单调性1.(2022·天津，7)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.c＜b＜a解析 因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数可知，m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|－log0.53|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)，故选C.答案 C2.(2022·北京，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A.y＝B.y＝(x－1)2C.y＝2－xD.y＝log0.5(x＋1)解析 显然y＝是(0，＋∞)上的增函数；y＝(x－1)2在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y＝2－x＝在x∈R上是减函数；y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数.故选A.答案 A3.(2022·陕西，7)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)＝xB.f(x)＝x3C.f(x)＝D.f(x)＝3x解析 根据各选项知，选项C、D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y).又f(x)＝3x是增函数，所以D正确.答案 D4.(2022·山东，5)已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( )A.>B.ln(x2＋1)>ln(y2＋1)C.sinx>sinyD.x3>y3解析 根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A、B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D中的不等式恒成立.5\n答案 D5.(2022·广东，4)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A.y＝ln(x＋2)B.y＝－C.y＝D.y＝x＋解析 函数y＝ln(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数；函数y＝－在[－1，＋∞)上是减函数；函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，函数y＝x＋在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.综上可得在(0，＋∞)上是增函数的是y＝ln(x＋2)，故选A.答案 A6.(2022·陕西，2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A.y＝x＋1B.y＝－x3C.y＝D.y＝x|x|解析 对于A，注意到函数y＝x＋1不是奇函数；对于B，注意到函数y＝－x3是在R上的减函数；对于C，注意到函数y＝在其定义域上不是增函数；对于D，注意到－x·|－x|＋x|x|＝0，即函数y＝x|x|是奇函数，且当x≥0时，y＝x|x|＝x2是增函数，因此函数y＝x|x|既是奇函数又是R上的增函数，选D.答案 D7.(2022·浙江，9)设a>0，b>0( )A.若2a＋2a＝2b＋3b，则a>bB.若2a＋2a＝2b＋3b，则a<bC.若2a－2a＝2b－3b，则a>bD.若2a－2a＝2b－3b，则a<b解析 函数y＝2x＋2x为单调递增函数，由题意可知2a＋3a>2a＋2a＝2b＋3b，∴a>b.答案 A8.(2022·新课标全国，2)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A.y＝x3B.y＝|x|＋1C.y＝－x2＋1D.y＝2－|x|解析 A中y＝x3是奇函数，不满足题意；由y＝|x|＋1的图象可知B满足题意；C中y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数，故不满足题意；D中y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故不满足题意.故选B.答案 B5\n9.(2022·新课标全国Ⅱ，15)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.解析 由题可知，当－2<x<2时，f(x)>0.f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，若f(x－1)>0，则－1<x<3.答案 (－1，3)考点二 函数的奇偶性与周期性1.(2022·福建，2)下列函数为奇函数的是( )A.y＝B.y＝|sinx|C.y＝cosxD.y＝ex－e－x解析 由奇函数定义易知y＝ex－e－x为奇函数，故选D.答案 D2.(2022·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A.y＝x＋exB.y＝x＋C.y＝2x＋D.y＝解析 令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而B、C、D依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.答案 A3.(2022·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y＝cosxB.y＝sinxC.y＝lnxD.y＝x2＋1解析 由于y＝sinx是奇函数；y＝lnx是非奇非偶函数；y＝x2＋1是偶函数但没有零点；只有y＝cosx是偶函数又有零点.答案 A4.(2022·湖南，3)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )A.－3B.－1C.1D.3解析 用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.答案 C5.(2022·新课标全国Ⅰ，3)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )5\nA.f(x)g(x)是偶函数B.f(x)|g(x)|是奇函数C.|f(x)|g(x)是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选B.答案 B6.(2022·湖北，10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.解析 [当x≥0时，f(x)＝，又f(x)为奇函数，可得f(x)的图象如图所示，由图象可得，当x≤2a2时，f(x)max＝a2，当x>2a2时，令x－3a2＝a2，得x＝4a2，又∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，可知4a2－(－2a2)≤1⇒a∈，选B.答案 B7.(2022·广东，2)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是( )A.4B.3C.2D.1解析 根据奇、偶函数的定义可知，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，y＝x3与y＝2sinx为奇函数，故选C.答案 C8.(2022·山东，3)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )A.－2B.0C.1D.2解析 由函数f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)＝－2.答案 A9.(2022·新课标全国Ⅰ，13)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.解析 f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，5\n所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.答案 110.(2022·四川，12)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________.解析 f＝f＝f＝－4×＋2＝1.答案 111.(2022·上海，9)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.解析 由题意得g(－1)＝f(－1)＋2.又f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12]＝－2，所以f(－1)＋2＝－3＋2＝－1，故g(－1)＝－1.答案 －15
