考点一 二次函数的图象与性质1．(2022·湖北，9)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－，1，3}D．{－2－，1，3}解析 当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；当x＜0时，由f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3得x＝－2－(正根舍去)．故选D.答案 D2．(2022·北京，8)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟解析 由已知得解得∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋，∴当t＝＝3.75时p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B.答案 B3．(2022·浙江，9)设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.( )5\nA．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定C．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定解析 |b＋ta|2＝|a|2t2＋2a·b·t＋|b|2＝|a|2t2＋2|a||b|cosθ·t＋|b|2，设f(t)＝|a|2t2＋2|a||b|cosθ·t＋|b|2，则二次函数f(t)的最小值为1，即＝1，化简得|b|2sin2θ＝1.∵|b|＞0，0≤θ≤π，∴|b|sinθ＝1，若θ确定，则|b|唯一确定，而|b|确定，θ不确定，故选B.答案 B4．(2022·浙江，7)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，则( )A．a＞0，4a＋b＝0B．a＜0，4a＋b＝0C．a＞0，2a＋b＝0D．a＜0，2a＋b＝0解析 由f(0)＝f(4)知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝2，即－＝2.所以4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知a＞0，故选A.答案 A5．(2022·山东，12)设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx.若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y2)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )A．x1＋x2＞0，y1＋y2＞0B．x1＋x2＞0，y1＋y2＜0C．x1＋x2＜0，y1＋y2＞0D．x1＋x2＜0，y1＋y2＜0解析 由题意知满足条件的两函数如图所示，作B关于原点的对称点B′，据图可知：x1＋x2＞0，y1＋y2＜0，故B正确．答案 B6．(2022·浙江，10)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象的是( )5\n解析 对于选项A、B，f(x)＝a(x＋1)2，[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝a(x＋1)(x＋3)ex，所以x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点满足条件．选项C中，对称轴x＝－＞0，且开口向下，所以a＜0，b＞0，所以f(－1)＝2a－b＜0，也满足条件．选项D中，对称轴x＝－＜－1，且开口向上，所以a＞0，b＞2a，所以f(－1)＝2a－b＜0，与图矛盾，故选D.答案 D7．(2022·江苏，11)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________．解析 当x＞0时，由f(x)＝x2－4x＞x解得x＜0或x＞5，则此时有x＞5；当x＝0时，由奇函数的性质知f(0)＝0，此时f(x)＝f(0)＝0＞x＝0，则此时无解；当x＜0时，则有－x＞0，结合奇函数的性质有f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－x)]＝－x2－4x＞x，解得－5＜x＜0，则此时有－5＜x＜0；综合分析知－5＜x＜0或x＞5.答案 (－5，0)∪(5，＋∞)8．(2022·重庆，15)设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．解析 根据二次函数的图象可得Δ＝(8sinα)2－4×8cos2α≤0，即2sin2α－cos2α≤0，5\n转化为2sin2α－(1－2sin2α)≤0，即－≤sinα≤.因为0≤α≤π，故α∈∪.答案 ∪9．(2022·北京，14)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若∀x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，则m的取值范围是________．解析 由g(x)＝2x－2＜0，解得x＜1.∵∀x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0，∴只需当x≥1时，f(x)＜0恒成立，即f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＜0恒成立即可，则有成立，即－4＜m＜0.答案 (－4，0)考点二 幂函数1．(2022·上海，15)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x解析 y＝x－1与y＝x是奇函数，y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故选A.答案 A2．(2022·陕西，4)函数y＝x的图象是( )解析 由于0＜x＜1时，x＞x；x＞1时，x＜x，所以B正确，故选B.5\n答案 B5
