考点一 二次函数的综合应用1．(2022·四川，9)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为( )A．16B．18C．25D.解析 令f′(x)＝(m－2)x＋n－8＝0，∴x＝－，当m＞2时，对称轴x0＝－，由题意，－≥2，∴2m＋n≤12，∵≤≤6，∴mn≤18，由2m＋n＝12且2m＝n知m＝3，n＝6，当m＜2时，抛物线开口向下，由题意－≤，即2n＋m≤18，∵≤≤9，∴mn≤，由2n＋m＝18且2n＝m，得m＝9(舍去)，∴mn最大值为18，选B.答案 B2．(2022·重庆，3)(－6≤a≤3)的最大值为( )A．9B.C．3D.解析 设f(a)＝＝＝，∵－6≤a≤3，∴f(a)max＝，故选B.答案 B3．(2022·辽宁，11)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝( )4\nA．16B．－16C．a2－2a－16D．a2＋2a－16解析 函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，g(x)的图象是开口向下的抛物线，两个函数图象相交，则A必是两个函数图象交点中较低的点的纵坐标，B是两个函数图象交点中较高的点的纵坐标，令x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，解得x＝a＋2，或x＝a－2.因为函数f(x)的对称轴为x＝a＋2，故可得A＝f(a＋2)＝－4a－4，B＝g(a－2)＝12－4a，所以A－B＝－16.答案 B4．(2022·辽宁，16)对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．解析 设2a＋b＝t，则2a＝t－b，因为4a2－2ab＋4b2－c＝0，所以将2a＝t－b代入整理可得6b2－3tb＋t2－c＝0①，由Δ≥0解得－≤t≤，当|2a＋b|取最大值时t＝，代入①式得b＝，再由2a＝t－b得a＝，所以－＋＝－＋＝－＝－2≥－2，当且仅当c＝时等号成立．答案 －25．(2022·重庆，15)设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．解析 由8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，得Δ＝(－8sinα)2－4×8cos2α≤0，即64sin2α－32(1－2sin2α)≤0，得到sin2α≤，∵0≤α≤π，∴0≤sinα≤，∴0≤α≤或≤α≤π，即α的取值范围为∪.答案 ∪4\n6．(2022·江苏，13)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．解析 ∵f(x)＝x2＋ax＋b＝＋b－的最小值为b－，∴b－＝0，即b＝.∴f(x)<c，即x2＋ax＋b<c，则<c，∴c>0且－－<x<－＋，∴－＝6，∴2＝6，∴c＝9.答案 97．(2022·陕西，12)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________．解析 先求有根的条件，即Δ＝16－4n≥0，又n∈N*，所以n取值为1，2，3，4；将其逐个代入验证可知n＝3或n＝4.答案 3或4考点二 幂函数的图象与性质1．(2022·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是( )解析 当a>1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0<a<1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1，0)，排除A，因此选D.答案 D2．(2022·山东，3)设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( )A．充分不必要条件4\nB．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 ∵f(x)＝ax为减函数，∴0<a<1，∵g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数，0＜a＜1或1＜a＜2，∴a∈(0，1)⇒a∈(0，1)∪(1，2)，故选A.答案 A3．(2022·陕西，4)函数y＝x的图象是( )解析 显然－f(x)＝f(－x)，说明函数是奇函数．同时，当0<x<1时，x>x，当x>1时，x<x，知只有B选项符合．答案 B4
