考点 函数的零点与方程的根1．(2022·天津，8)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A．2B．3C．4D．5解析 函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数f(x)与g(x)图象的交点个数，记h(x)＝－f(2－x)，在同一坐标系中作出函数f(x)与h(x)的图象，如图，g(x)的图象为h(x)的图象向上平移3个单位，可知f(x)与g(x)的图象有两个交点，故选A.答案 A2．(2022·安徽，4)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝lnxB．y＝x2＋1C．y＝sinxD．y＝cosx解析 对数函数y＝lnx是非奇非偶函数；y＝x2＋1为偶函数但没有零点；y＝sinx是奇函数；y＝cosx是偶函数且有零点，故选D.答案 D3．(2022·重庆，10)已知函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )A.∪B.∪C.∪D.∪解析 g(x)＝f(x)－mx－m在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝m(x＋1)的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数f(x)＝5\n和函数y＝m(x＋1)的图象，如图，当直线y＝m(x＋1)与y＝－3，x∈(－1，0]和y＝x，x∈(0，1]都相交时0＜m≤；当直线y＝m(x＋1)与y＝－3，x∈(－1，0]有两个交点时，由方程组消元得－3＝m(x＋1)，即m(x＋1)2＋3(x＋1)－1＝0，化简得mx2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0，当Δ＝9＋4m＝0，即m＝－时直线y＝m(x＋1)与y＝－3相切，当直线y＝m(x＋1)过点(0，－2)时，m＝－2，所以m∈.综上，实数m的取值范围是∪(0，]，选择A.答案 A4．(2022·北京，6)已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)解析 因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)，故选C.答案 C5．(2022·天津，8)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )A．g(a)＜0＜f(b)B．f(b)＜0＜g(a)C．0＜g(a)＜f(b)D．f(b)＜g(a)＜0解析 由f(a)＝ea＋a－2＝0得0＜a＜1.由g(b)＝lnb＋b2－3＝0得1＜b＜2.因为g(a)＝lna＋a2－3＜0，f(b)＝eb＋b－2＞0，所以f(b)＞0＞g(a)，故选A.5\n答案 A6．(2022·湖北，3)函数f(x)＝xcos2x在区间[0，2π]上的零点的个数为( )A．2B．3C．4D．5解析 令f(x)＝xcos2x＝0，∴x＝0或cos2x＝0，即x＝0或2x＝kπ＋，k∈Z.∵x∈[0，2π]，∴x＝0，，，π，π，故选D.答案 D7．(2022·陕西，6)方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内( )A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根解析 画y＝|x|与y＝cosx图象，可得它们有两个交点，故选C.答案 C8．(2022·江苏，13)已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．解析 令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示．由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.答案 49．(2022·湖北，13)函数f(x)＝2sinxsin－x2的零点个数为________．解析 f(x)＝2sinxsin－x2＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2.令f(x)＝0，则sin2x＝x2，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin2x与函数y＝x2的图象的交点个数．作出函数图象知，两函数交点有2个，即函数f(x)的零点个数为2.5\n答案 210．(2022·天津，14)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．解析 由题意，函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，得函数y1＝f(x)与y2＝a|x|的图象有4个不同的交点．在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示(a显然大于0)．由图可知，当y2＝－ax(x＜0)与y1＝－x2－5x－4(－4＜x＜－1)相切时，x2＋(5－a)x＋4＝0有两个相等的实数根，则(5－a)2－16＝0，解得a＝1(a＝9舍去)，所以当x＜0时，y1与y2的图象恰有3个不同的交点．显然，当1＜a＜2时，两个函数的图象恰有4个不同的交点，即函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点．]答案 (1，2)11．(2022·福建，15))函数f(x)＝的零点个数是________．解析 当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－；当x＞0时，f(x)＝2x－6＋lnx，因为f′(x)＝2＋＞0，所以函数f(x)＝2x－6＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝2－6＋ln1＝－4＜0，f(3)＝ln3＞0，所以函数f(x)＝2x－6＋lnx在(0，＋∞)有且只有一个零点．综上，函数f(x)的零点个数为2.答案 25\n5
