第二节 不等式的解法A组 专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2022·珠海模拟)不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是( )A.{x|x＜－1}B.C.D.解析 －2x2＋x＋3＜0，2x2－x－3＞0即(2x－3)(x＋1)＞0，x＞或x＜－1.答案 D2.(2022·沈阳四校联考)若全集U＝{x∈R|x2≤4}，则集合A＝{x∈R||x＋1|≤1}的补集∁UA为( )A.{x∈R|0＜x＜2}B.{x∈R|0≤x＜2}C.{x∈R|0＜x≤2}D.{x∈R|0≤x≤2}解析 ∵全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁UA＝{x∈R|0＜x≤2}，故选C.答案 C3.(2022·辽宁丹东调研)关于x的不等式≥0的解为{x|－1≤x＜2或x≥3}，则点P(a＋b，c)位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由不等式的解集可知－1，3是方程的两个根，且c＝2，不妨设a＝－1，b＝3，∴a＋b＝2，即点P(a＋b，c)的坐标为(2，2)，位于第一象限，选A.答案 A4.(2022·长春第二次调研)已知函数f(x)＝则f[f(x)]≥1的充要条件是( )A.x∈(－∞，－]B.x∈[4，＋∞)5\nC.x∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)D.x∈(－∞，－]∪[4，＋∞)解析 当x≥0时，f[f(x)]＝≥1，所以x≥4；当x＜0时，f[f(x)]＝≥1，所以x2≥2，解得x≥(舍去)或x≤－.因此f[f(x)]≥1的充要条件是x∈(－∞，－]∪[4，＋∞)，选D.答案 D一年创新演练5.关于x的不等式x2－ax＋a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是( )A.a<0或a>4B.0<a<2C.0<a<4D.0<a<8解析 不等式恒成立的充要条件是Δ＝a2－4a<0，解得0<a<4.显然选项A是既不充分也不必要条件；选项B是充分不必要条件；选项C是充要条件；选项D是必要不充分条件.答案 B6.对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________.解析 由题意解得<[x]<，又[x]表示不大于x的最大整数，所以[x]的取值为2，3，4，5，6，7，故2≤x<8.答案 [2，8)B组 专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2022·河南洛阳质检)若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为( )A.(－3，1)B.(－∞，－3)∪(1，＋∞)C.∅D.(0，1)解析 不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a＜0，即a2－a＜0，解得0＜a＜1，所以不等式at2＋2t－3＜1转化为t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1，故选B.答案 B8.(2022·山西省三诊)正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是( )A.[3，＋∞)B.(－∞，3]5\nC.(－∞，6]D.[6，＋∞)解析 a＋b＝(a＋b)＝10＋≥10＋2＝16.当且仅当＝且＋＝1，即b＝3a＝12时取“＝”.∴－x2＋4x＋18－m≤16，即x2－4x＋m－2≥0对任意x恒成立.∴Δ＝16－4(m－2)≤0，∴m≥6.答案 D二、填空题9.(2022·四川绵阳诊断)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f(x)＞c－1的解集为(m－4，m＋1)，则实数c的值为________.解析 Δ＝0⇒a2＋4b＝0，f(x)＞c－1⇒－x2＋ax＋b－c＋1＞0⇒x2－ax－b＋c－1＜0，此不等式的解集为(m－4，m＋1)⇒|x1－x2|＝5⇒(x1＋x2)2－4x1x2＝25⇒a2－4(－b＋c－1)＝a2＋4b－4c＋4＝25⇒－4c＝21⇒c＝－.答案 －10.(2022·山东威海一模)已知f(x)＝则不等式x＋xf(x)≤2的解集是________.解析 (1)当x≥0时，原不等式可化为x2＋x－2≤0，解得－2≤x≤1，即0≤x≤1.(2)当x＜0时，原不等式可化为x2－x＋2≥0，得(x－)2＋≥0恒成立，即x＜0.综合(1)(2)知x≤1，所以解集为(－∞，1].答案 (－∞，1]三、解答题11.(2022·山东省实验中学二诊)已知函数f(x)＝x2＋2ax－a＋2.(1)若对于任意x∈R，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对于任意x∈[－1，1]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若对于任意a∈[－1，1]，x2＋2ax－a＋2＞0恒成立，求实数x的取值范围.解 (1)要使对于任意x∈R，f(x)≥0恒成立，需满足Δ＝4a2－4(－a＋2)≤0，解得－2≤a≤1.(2)对称轴x＝－a.当－a＜－1，即a＞1时，f(x)min＝f(－1)＝3－3a≥0，∴a≤1(舍).5\n当－a＞1，即a＜－1时，f(x)min＝f(1)＝a＋3≥0，∴－3≤a＜－1.当－1≤－a≤1，即－1≤a≤1时，f(x)min＝f(－a)＝－a2－a＋2≥0，∴－1≤a≤1.综上所述，实数a的取值范围.(3)对于任意a∈[－1，1]，x2＋2ax－a＋2＞0恒成立等价于g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2＞0，则即解得x≠－1.所以实数x的取值范围是{x|x≠－1}.一年创新演练12.设a∈R，则“＜0”是“|a|＜1”成立的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既非充分也非必要条件解析 因为a2－a＋1＝(a－)2＋＞0，所以由＜0得a＜1，不能得知|a|＜1；反过来，由|a|＜1得－1＜a＜1，所以＜0.因此，“＜0”是“|a|＜1”成立的必要不充分条件，选C.答案 C13.如果关于x的不等式f(x)＜0和g(x)＜0的解集分别为(a，b)，，那么称这两个不等式为“对偶不等式”，如果不等式x2－4xcos2θ＋2＜0与不等式2x2＋4xsin2θ＋1＜0为“对偶不等式”，且θ∈，那么θ＝________.解析 由题意可知ab＝2，a＋b＝4cos2θ，＋＝－2sin2θ，即＝－2sin2θ，∴2cos2θ＝－2sin2θ，tan2θ＝－.∵θ∈，∴2θ∈(π，2π)，2θ＝.∴θ＝.5\n答案 5
