课时作业(十八)一、选择题1.下列表示图中f(x)在区间[a，b]的图像与x轴围成的面积总和的式子中，正确的是( )A.f(x)dxB.C.f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dxD.f(x)dx－f(x)dx＋f(x)dx答案 D2．若(2x＋)dx＝3＋ln2，则a的值是( )A．6 B．4C．3D．2答案 D3．(1＋cosx)dx等于( )A．πB．2C．π－2D．π＋2答案 D4．f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么f(x)的解析式是( )A．4x＋3B．3x＋4C．－4x＋2D．－3x＋4答案 A解析 设y＝kx＋b(k≠0)，(kx＋b)dx＝(kx2＋bx)|＝k＋b＝5，①x(kx＋b)dx＝(kx3＋bx2)|＝，13\n得k＋b＝.②解①②得5．下列各式中正确的是( )A.<x2dx<1B.<dx<1C.<x3dx<1D．0<dx<答案 B解析 图解如图由几何性可知选B.6．由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形的面积的最小值为( )A.B.C.D.答案 A解析 如图S＝t2·t－x2dx＋x2dx－(1－t)t2，13\n得S＝f(t)＝t3－t2＋.∵f′(t)＝4t2－2t，令4t2－2t＝0.得t＝(t＝0(舍))．可知当t＝时，S最小．最小值为S＝，选A.7.如图，阴影部分的面积是( )A．2B．－2C.D.答案 C8．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为( )A.B.C.ln2D．2ln2答案 D9．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( ) S＝[g(x)－f(x)]dx S＝(2x－2x＋8)dx ① ②13\n S＝f(x)dx－f(x)dx S＝[g(x)－f(x)]dx＋ [f(x)－g(x)]dx ③ ④A．①③B．②③C．①④D．③④答案 D解析 ①应是S＝[f(x)－g(x)]dx，②应是S＝2dx－(2x－8)dx，③和④正确．故选D.二、填空题10．若x(a－x)dx＝2，则实数a＝________.答案 11．设f(x)是连续函数，且f(x)＝x＋2f(t)dt，则f(x)＝________.答案 x－212．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，(0≤x0≤1)，则x0的值为________．答案 三、解答题13.(|2－x|＋|sinx)|dx.解析 原式＝(|x－2|)dx＋(|sinx|)dx＝＋2＋sinxdx＋(－sinx)dx13\n＝＋2＋2＋cos5＋1＝＋cos5.14．已知f(x)是一个一次函数，其图像过(3,4)，且f(x)dx＝1，求f(x)的解析式．解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，其图像过点(3,4)，∴4＝3k＋b.1＝(kx＋b)dx＝(kx2＋bx)|＝k＋b.从而有解得∴f(x)＝x＋.►重点班·选做题15．求c的值，使(x2＋cx＋c)2dx最小．解析 令y＝(x2＋cx＋c)2dx＝(x4＋2cx3＋c2x2＋2cx2＋2c2x＋c2)dx＝(x5＋cx4＋c2x3＋cx3＋c2x2＋c2x)＝＋c＋c2，令y′＝c＋＝0，得c＝－，所以当c＝－时，y最小．1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第2秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为________．答案 g2．在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为，试求：(1)过点A的坐标；(2)过切点A的切线方程．解析 如图所示，设切点A(x0，y0)．13\n由y′＝2x知过A点切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)且y0＝x，即y＝2x0x－x.令y＝0，得C(，0)．设由曲线与过A点的切线及x轴围成的面积为S，则S＝S曲线OAB－S△ABC＝.∵S曲边AOB＝x2dx＝x3＝x，S△ABC＝BC·AB＝(x0－)·x＝x，∴＝x－x＝.解得x0＝1，从而A(1,1)切线方程为y＝2x－1.3．(2022·广州质检)A，B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到达C的速度达24m/s，从C点到B点前的D点匀速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24－1.2t)m/s，在B处恰好停车，试求：(1)A，C间的距离；(2)B，D间的距离；(3)从A到B的时间．解析 (1)设A到C点经过t1s，由1.2t1＝24，得t1＝20(s)．∴AC＝1.2tdt＝0.6t2＝240(m)．(2)设从D→B经过t2s，由24－1.2t2＝0，得t2＝20(s)．∴DB＝(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)＝240(m)．从C到D的时间t3＝＝280(s)，13\n所求A到B的时间为20＋280＋20＝320(s)．1．(2022·福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A. B.C.D.答案 C解析 利用积分求出阴影部分的面积，应用几何概型的概率计算公式求解．∵S阴影＝(－x)dx＝(x－x2)＝－＝，又S正方形OABC＝1，∴由几何概型知，P恰好取自阴影部分的概率为＝.2．(2022·湖南)曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为( )A．－B.C．－D.答案 B解析 y′＝＝，故y′x＝＝，13\n∴曲线在点M(，0)处的切线的斜率为.3．(2022·江西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为( )A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)答案 C解析 由题意知x>0，且f′(x)＝2x－2－，即f′(x)＝>0，∴x2－x－2>0，解得x<－1或x>2.又∵x>0，∴x>2.4．(2022·新课标全国)由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )A.B．4C.D．6答案 C解析 由得其交点坐标为(4,2)．因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为[－(x－2)]dx＝(－x＋2)dx＝(x－x2＋2x)＝×8－×16＋2×4＝.5．(2022·山东)函数y＝－2sinx的图像大致是( )答案 C解析 因为y＝－2sinx是奇函数，所以其图像关于原点对称，因此可排除A.为求解本题，应先研究＝2sinx，即sinx＝x，在同一坐标系内作出y1＝sinx与y2＝13\nx的图像，如下图，可知，当x>0时，y1＝sinx与y2＝x只有一个交点，设其交点坐标为(x0，y0)，则当x∈(0，x0)时，sinx>x，即2sinx>x，此时，y＝x－2sinx<0.又f′(x)＝－2cosx，因此当x>0时，可以有f′(x)>0，也可以有f′(x)<0，即函数有增有减，有多个极值点，且极值点呈周期性，因此可排除B、D，故选C.6．(2022·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件答案 C解析 ∵y＝f(x)＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81.令y′＝0，得x＝9，x＝－9(舍去)．当0<x<9时，y′>0，函数f(x)单调递增；当x>9时，y′<0，函数f(x)单调递减．故当x＝9时，y取最大值．7．(2022·辽宁)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A．[0，)B．[，)C．(，]D．[，π)答案 D解析 ∵y＝，∴y′＝.令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>1.13\n∴y′＝＝－.再令＝m，则0<m<1.∴y′＝4m2－4m＝4(m－)2－1，m∈(0,1)．容易求得－1≤y′<0，∴－1≤tanα<0，得π≤α<π.8．(2022·新课标全国)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．答案 y＝4x－3解析 利用导数的几何意义先求得切线斜率．∵y＝x(3lnx＋1)，∴y′＝3lnx＋1＋x·＝3lnx＋4.∴k＝y′|x＝1＝4.∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.9．(2022·山东)设a>0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.答案 解析 利用定积分的几何意义求解．S＝dx＝x＝a＝a2，∴a＝.10．(2022·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．答案 2解析 由f(x)＝x3－3x2＋1，可得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．11．(2022·北京)已知函数f(x)＝(x－k)2e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．解析 (1)f′(x)＝(x2－k2)e.令f′(x)＝0，得x＝±k.13\n当k>0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，－k)－k(－k，k)k(k，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)4k2e－1↘0所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．当k<0时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，k)k(k，－k)－k(－k，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘04k2e－1↘所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e>，所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤.当k<0时，由①知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝.所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤.解得－≤k<0.故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是[－，0)．1．(2022·辽宁)设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．(1)求a，b的值；(2)证明：当0<x<2时，f(x)<.解析 (1)由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1.由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为，又y′|x＝0＝(＋＋a)|x＝0＝＋a，得a＝0.13\n(2)证法一 由均值不等式，当x>0时，2<x＋1＋1＝x＋2，故<＋1.记h(x)＝f(x)－，则h′(x)＝＋－＝－<－＝.令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0<x<2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)<0.于是当0<x<2时，f(x)<.证法二 由(1)知f(x)＝ln(x＋1)＋－1.由均值不等式，当x>0时，2<x＋1＋1＝x＋2，故<＋1. ①令k(x)＝ln(x＋1)－x，则k(0)＝0，k′(x)＝－1＝<0.故k(x)<0，即ln(x＋1)<x. ②由①②，得当x>0时，f(x)<x.记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x，则当0<x<2时，h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9<x＋(x＋6)(＋)－9＝[3x(x＋1)＋(x＋6)(2＋)－18(x＋1)]<[3x(x＋1)＋(x＋6)(3＋)－18(x＋1)]13\n＝(7x－18)<0.因此h(x)在(0,2)内单调递减，又h(0)＝0，所以h(x)<0，即f(x)<.13
