正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性A级——基础过关练1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【答案】A 【解析】由于x∈R，且f(－x)＝sinx＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．2．(2020年杭州高一期中)若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为( )A．B．1C．2D．4【答案】C 【解析】函数f(x)＝sinωx的最小正周期为π，可得＝π，解得ω＝2.故选C．3．函数y＝4sin(2x－π)的图象关于( )A．x轴对称B．原点对称C．y轴对称D．直线x＝对称【答案】B 【解析】y＝4sin(2x－π)＝－4sin2x是奇函数，其图象关于原点对称．4．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos中，最小正周期为π的所有函数为( )A．①②③B．③C．②D．①③【答案】A 【解析】对于①，因为y＝cos|2x|＝cos2x，T＝＝π，所以y＝cos|2x|的最小正周期为π；对于②，因为y＝cosx的最小正周期为2π，所以y＝|cosx|的最小正周期为π；对于③，y＝cos的最小正周期T＝＝π.综上，①②③的最小正周期为π.故选A．5．(多选)下列函数为偶函数的是( )4
A．f(x)＝|sin|x||B．f(x)＝C．f(x)＝sin|x|D．f(x)＝|sinx|【答案】ACD6．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．【答案】0 【解析】因为f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin0－|a|＝0，所以a＝0.7．函数ƒ(x)＝3cos(ω＞0)的最小正周期为，则f(π)＝________.【答案】－ 【解析】由已知＝得ω＝3，所以f(x)＝3cos，所以f(π)＝3cos＝3cos＝－3cos＝－.8．已知函数f(x)＝－2sin，则f(x)＝________，最小正周期是________．【答案】－1 π9．判断下列函数的奇偶性．(1)ƒ(x)＝coscos(π＋x)；(2)ƒ(x)＝＋.解：(1)因为x∈R，f(x)＝coscos(π＋x)＝－sin2x·(－cosx)＝sin2xcosx，所以f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin2xcosx＝－f(x)．所以函数f(x)是奇函数．(2)对任意x∈R，－1≤sinx≤1，所以1＋sinx≥0,1－sinx≥0.所以f(x)＝＋的定义域为R.因为f(－x)＝＋＝＋＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．B级——能力提升练10．(2021年枣庄模拟)函数f(x)＝sin是( )A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数4
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【答案】B 【解析】f(x)＝sin＝－sin＝－cos2x，则函数f(x)是偶函数，函数的最小正周期T＝＝π，即f(x)是最小正周期为π的偶函数．故选B．11．函数f(x)＝的奇偶性是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】A 【解析】因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}关于原点对称，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．故选A．12．函数y＝的最小正周期是________．【答案】2π 【解析】因为y＝sin的最小正周期为T＝4π，而y＝的图象是把y＝sin的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，所以y＝的最小正周期为T＝2π.13．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且当x∈时，f(x)＝sinx，求f的值．解：因为f(x)的周期为，且为偶函数，所以f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.C级——探究创新练14．函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，则sin＝________.【答案】－1 【解析】因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，所以f(5)＝f(4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1，则原式＝sin＝－sin＝－1.4
15．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sinx，当x∈时，求f(x)的解析式．解：x∈时，3π－x∈，因为x∈时，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)．所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈.4
