正弦函数、余弦函数的性质(一) (20分钟 35分)1.函数y=3cos的最小正周期是( )A. B. C.2π D.5π【解析】选D.因为y=3cos,ω=,所以T==5π. 【补偿训练】 函数f(x)=sin,x∈R的最小正周期为( ) A. B.π C.2π D.4π【解析】选D.由题意知T==4π.2.已知函数f(x)=sin,则f(x)是( )A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数【解析】选D.因为f(x)=sin=sin=cosx,因此函数f(x)=sin是周期为2π的偶函数.3.函数y=sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ的值是( )A.0B.C.D.π【解析】选C.由题意得sin(-φ)=±1,即sinφ=±1.因为φ∈[0,π],所以φ=.4.函数y=-xcosx的部分图象是下图中的( )6
【解析】选D.因为函数y=-xcosx是奇函数,图象关于原点对称,所以排除A,C;当x∈时,y=-xcosx<0.5.函数f(x)=cos2x+1的图象关于 对称(填“原点”或“y轴”). 【解析】函数的定义域为R,f(-x)=cos2(-x)+1=cos(-2x)+1=cos2x+1=f(x).故f(x)为偶函数,所以图象关于y轴对称.答案:y轴6.求下列函数的最小正周期.(1)y=cosx;(2)y=2sin;(3)y=|sinx|.【解析】(1)因为cos=cosx,即cos(x+4π)=cosx,所以y=cosx的最小正周期为4π.(2)因为2sin=2sin,即2sin=2sin,所以y=2sin的最小正周期为6π.(3)作出y=|sinx|的图象.由图象可知y=|sinx|的最小正周期为π.6
(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数中,周期为π的函数是( )A.y=2sinxB.y=cosxC.y=sinD.y=cos【解析】选D.根据公式T=可知,函数y=cos的最小正周期T==π.2.已知函数f(x)=sin-1,则下列命题正确的是( )A.f(x)是周期为1的奇函数B.f(x)是周期为2的偶函数C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数【解析】选B.f(x)=sin-1=-cosπx-1,从而函数为偶函数,且T==2.3.若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=( )A.B.C.D.【解析】选C.因为f(x)是偶函数,所以=+kπ(k∈Z),所以φ=π+3kπ(k∈Z),又φ∈[0,2π],所以φ=π.4.如果函数f(x)=cosωx+(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω的值为( )A.3B.6C.12D.24【解析】选B.函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,所以T=2×=,又=,解得ω=6.6
5.若函数f(x)=asinx+2x+3,且f(-1)=7,则f(1)=( )A.4B.-4C.1D.-1【解析】选D.函数f(x)=asinx+2x+3,令g(x)=asinx+2x,则g(-x)=-asinx-2x=-g(x),所以g(x)=asinx+2x是奇函数,f(-1)=g(-1)+3=7,g(-1)=4,g(1)=-4,f(1)=g(1)+3=-4+3=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是 . 【解析】由T=≤2,解得k≥4π,又k∈Z,所以满足题意的最小值是13.答案:137.若函数f(x)的定义域为R,最小正周期为,且满足f(x)=则f= . 【解析】f=f=f=sin=.答案:8.已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数,则方程f(x)=0在[-2,2]上至少有 个实数根. 【解析】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又因为函数f(x)以2为周期,所以f(2)=f(-2)=f(0)=0,6
且解得f(-1)=f(1)=0,故方程f(x)=0在[-2,2]上至少有5个实数根.答案:5三、解答题(每小题10分,共20分)9.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=-2cos3x.(2)f(x)=xsin(x+π).【解析】(1)函数的定义域为R,且f(-x)=-2cos3(-x)=-2cos3x=f(x),所以f(x)=-2cos3x为偶函数.(2)函数的定义域为R,且f(x)=xsin(x+π)=-xsinx,所以f(-x)=xsin(-x)=-xsinx=f(x),故f(x)=xsin(x+π)为偶函数.10.函数f(x)满足f(x+2)=-.求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.【证明】因为f(x+4)=f((x+2)+2)=-=f(x),所以f(x)是周期函数,且4是它的一个周期.1.若函数f(x)=2cos的最小正周期为T,且T∈(1,3),则ω的最大正整数值是 . 【解析】|ω|=,因为T∈(1,3),所以<|ω|<2π.所以ω的最大正整数值为6.答案:62.已知函数f(x)=cos,若函数g(x)的最小正周期是π,且当x∈时,g(x)=f,求关于x的方程g(x)=的解集.6
【解析】当x∈时,g(x)=f=cos.因为x+∈,所以由g(x)=解得x+=-或,即x=-或-.又因为g(x)的最小正周期为π.所以g(x)=的解集为.6
