补集及综合运算A级——基础过关练1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩∁NB等于( )A．{1,5,7}B．{3,5,7}C．{1,3,9}D．{1,2,3}【答案】A 【解析】因为A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，所以∁NB＝{1,2,4,5，7,8,10,11,13，…}．所以A∩∁NB＝{1,5,7}．2．(2020年上海浦东新区高一期中)对于集合M，N，若MN，则下面集合的运算结果一定是空集的是( )A．M∩∁UNB．∁UM∩NC．∁UM∩∁UND．M∩N【答案】A 【解析】因为MN，则可用Venn图表示U，M，N三个集合，所以M∩∁UN＝∅.故选A．3．(多选)设全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，则( )A．A∩B＝{0,1}B．∁UB＝{4}C．A∪B＝{0,1,3,4}D．集合A的真子集个数为8【答案】AC 【解析】因为全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,4}，B＝{0,1,3}，所以A∩B＝{0,1}，故A正确；∁UB＝{2,4}，故B错误；A∪B＝{0,1,3,4}，故C正确；集合A的真子集个数为23－1＝7，故D错误．故选AC．4．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是( )A．a≤2B．a<1C．a≥2D．a>2【答案】C 【解析】因为B＝{x|1<x<2}，所以∁RB＝{x|x≥2或x≤1}．如图，若要A∪(∁RB)＝R，必有a≥2.5．图中的阴影部分表示的集合是( )4
A．A∩(∁UB)B．B∩(∁UA)C．∁U(A∩B)D．∁U(A∪B)【答案】B 【解析】阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集．∴阴影部分所表示的集合为B∩(∁UA)．6．(2021年天津模拟)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.【答案】{2,3,5,7} 【解析】∵A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∵∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．7．(2021年南昌高一期中)已知集合A＝{1,2，m}，集合B＝{1,2}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________.【答案】5 【解析】∵∁AB＝{5}，∴5∈A，且5∉B．∴m＝5.8．已知全集U＝A∪B＝{1,2,3,4}，A＝{1,2,4}，A∩B＝{1}，则集合∁UB为________，集合B共有________个子集．【答案】{2,4} 4 【解析】由全集U＝A∪B＝{1,2,3,4}，A＝{1,2,4}，A∩B＝{1}，得B＝{1,3}，所以∁UB＝{2,4}，集合B＝{1,3}的子集有：∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<1或x>2}，集合B＝{x|x<－3或x≥1}，求∁RA，∁RB，A∩B，A∪B．解：如图，可知∁RA＝{x|1≤x≤2}，∁RB＝{x|－3≤x<1}．所以A∩B＝{x|x<－3或x>2}，A∪B＝R.B级——能力提升练10．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁UA)∩B中的元素的个数为( )A．3B．4C．5D．6【答案】B 【解析】因为U＝R，A＝{x|0<x<9}，所以∁UA＝{x|x≤0或x≥9}，又因为B＝{x∈Z|－4<x<4}，所以(∁UA)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1,0}，共4个元素．11．(多选)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是( )4
A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪∁RB＝{x|x≤－1或x＞2}D．A∩∁RB＝{x|2＜x≤3}【答案】BD 【解析】因为A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1＜x≤2}，故A不正确；A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确；因为∁RB＝{x|x＜－2或x＞2}，所以A∪∁RB＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x＜－2或x＞2}＝{x|x＜－2或x＞－1}，故C不正确．A∩∁RB＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x＜－2或x＞2}＝{x|2＜x≤3}，故D正确．故选BD．12．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁IM＝∅，则M∪N等于( )A．MB．NC．ID．∅【答案】A 【解析】因为N∩∁IM＝∅，N，M不相等，所以NM(如图)，所以M∪N＝M.13．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁UA)∩B≠∅，则a的取值范围为________．【答案】{a|a>3} 【解析】因为A＝{x|x<3或x≥7}，故∁UA＝{x|3≤x<7}．又(∁UA)∩B≠∅，则a>3.14．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________．【答案】{a|a≥2} 【解析】因为B＝{x|1<x<2}，所以∁RB＝{x|x≤1或x≥2}．又因为A∪(∁RB)＝R，A＝{x|x<a}，观察∁RB与A在数轴上表示的区间，如图所示．可得当a≥2时，A∪(∁RB)＝R.15．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|4x＋p<0}，且B⊆∁UA，求实数p的取值范围．解：∁UA＝{x|x<－1或x>2}，B＝.因为B⊆∁UA，所以－≤－1.所以p≥4.所以p的取值范围是{p|p≥4}．C级——探究创新练4
16．已知集合A＝{x|x2＋4ax－4a＋3＝0}，B＝{x|x2＋(a－1)x＋a2＝0}，C＝{x|x2＋2ax－2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围．解：假设集合A、B、C都是空集，当A＝∅时，表示不存在x使得x2＋4ax－4a＋3＝0成立，所以Δ＝16a2－4(－4a＋3)＜0，解得－＜a＜；当B＝∅时，同理Δ＝(a－1)2－4a2＜0，解得a＞或a＜－1；当C＝∅时，同理Δ＝(2a)2＋8a＜0，解得－2＜a＜0.三者交集为－＜a＜－1，取反面即可得A，B，C三个集合至少有一个集合不为空集，所以a的取值范围是a≥－1或a≤－.4
