集合间的基本关系A级——基础过关练1．(2020年福建高一期中)现有四个判断：2⊆{1,2}；∅∈{0}；{}⊆Q；∅{0}．其中正确的个数是( )A．2B．1C．4D．3【答案】B 【解析】元素与集合之间不能用包含关系，故2⊆{1,2}错误；∅与{0}是集合之间的关系，不能用“∈”，故∅∈{0}错误；因为∉Q，所以{}⊆Q错误；空集是任何非空集合的真子集，故∅{0}正确．故选B．2．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是( )A．{a|3<a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3<a<4}D．∅【答案】B 【解析】因为A⊇B，所以所以3≤a≤4.3．(2021年北京期末)下列正确表示集合M＝{x|x2－x＝0}和N＝{－1,0,1}关系的Venn图是( )ABCD【答案】D 【解析】由x2－x＝0，解得x＝0或1，所以MN.故选D．4．(2020年铜仁高一期中)设集合B＝，则集合B的子集个数为( )A．3B．4C．8D．16【答案】D 【解析】根据题意，集合B＝＝{－1,0,1,4}，有4个元素，其子集有24＝16个．故选D．5．(2021年昆明期中)下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,2,4}；②{0,2,4}⊆{4,2,0}；③∅⊆{0,2,4}；④∅＝{0}；⑤{0,2}＝{(0,2)}；⑥0＝{0}．A．1B．24
C．3D．4【答案】B 【解析】对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,2,4}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,2}是含有两个元素0与2的集合，而{(0,2)}是以有序数组(0,2)为元素的单元素集合，所以{0,2}与{(0,2)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③正确．6．用符号“∈”或“⊆”填空：若A＝{2,4,6}，则4______A，{2,6}______A．【答案】∈ ⊆ 【解析】因为集合A中有4这个元素，所以4∈A，因为2∈A,6∈A，所以{2,6}⊆A．故答案为∈，⊆.7．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．【答案】6 【解析】集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．8．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．【答案】m≥3 【解析】将数集A在数轴上表示出来，如图所示，要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.9．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，求a的值．解：因为B⊆A，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.经检验，满足题意．当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．综上所述，a＝－1或a＝2.B级——能力提升练10．(多选)图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，则( )A．A为小说B．B为文学作品C．C为散文D．D为叙事散文4
【答案】AB 【解析】由Venn图可得AB，CDB，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文．11．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是( )A．A⊆BB．A＝BC．ABD．AB【答案】D 【解析】对于x＝3k(k∈Z)，当k＝2m(m∈Z)时，x＝6m(m∈Z)；当k＝2m－1(m∈Z)时，x＝6m－3(m∈Z)．由此可知AB．12．(2020年太原高一期中)设集合A＝{a，b}，B＝{0，a2，－b2}，若A⊆B，则a－b＝( )A．－2B．2C．－2或2D．0【答案】C 【解析】因为集合A＝{a，b}，B＝{0，a2，－b2}，且A⊆B，易知a≠0且b≠0.当时，因为a≠0且b≠0，所以此时集合A＝{1，－1}，集合B＝{0,1，－1}，符合题意，所以a－b＝2；当时，因为a≠0且b≠0，所以此时集合A＝{1，－1}，集合B＝{0,1，－1}，符合题意，所以a－b＝－2.综上所求，a－b＝2或－2.故选C．13．(2020年宁波高一期中)已知集合A＝，则列举法表示集合A＝________，集合A的真子集有________个．【答案】{0,1,3,9} 15 【解析】因为集合A＝，所以列举法表示集合A＝{0,1,3,9}，集合A的真子集有24－1＝15个．故答案为{0,1,3,9},15.14．(2020年安康高一期中)定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}，设A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊗B的真子集的个数为________．【答案】7 【解析】因为A⊗B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}，A＝{0,1}，B＝{2,3}，所以集合A⊗B＝{2,3,4}，所以集合A⊗B的真子集的个数为23－1＝7.15．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若AB，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解：(1)若AB，由图可知a>2.故a的取值范围为{a|a>2}．(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2.4
故a的取值范围为{a|1≤a≤2}．C级——探究创新练16．已知集合P＝{x|x2－3x＋b＝0}，Q＝{x|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}．(1)若b＝4，是否存在集合M使得PM⊆Q？若存在，求出所有符合题意的集合M，若不存在，请说明理由；(2)P能否成为Q的一个子集？若能，求出b的值或取值范围，若不能，请说明理由．解：(1)因为集合Q＝{x|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{x|(x＋1)(x＋4)(x－1)＝0}＝{－1,1，－4}，当b＝4时，集合P＝∅，再由PM⊆Q可得，M是Q的非空子集，共有23－1＝7个，分别为{－1}，{1}，{－4}，{－1,1}，{－1,4}，{1,4}，{－1，1，－4}．(2)因为P⊆Q，对于方程x2－3x＋b＝0，当P＝∅，Δ＝9－4b＜0时，有b＞.当P≠∅，Δ＝9－4b≥0时，方程x2－3x＋b＝0有实数根，且实数根是－1,1，－4中的数，若－1是方程x2－3x＋b＝0的实数根，则有b＝－4，此时P＝{－1,4}，不满足P⊆Q，故舍去；若1是方程x2－3x＋b＝0的实数根，则有b＝2，此时P＝{1,2}，不满足P⊆Q，故舍去；若－4是方程x2－3x＋b＝0的实数根，则有b＝－28，此时P＝{－4,7}，不满足P⊆Q，故舍去．综上可得，实数b的取值范围为.4
