§3.4 基本不等式≤(a≥0，b≥0)3．4.1 基本不等式的证明一、基础过关1．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是________．2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是________．①a2＋b2>2ab②a＋b≥2③＋>④＋≥23．已知m＝a＋(a>2)，n＝x2－2(x<0)，则m、n之间的大小关系是________．4．设0<a<1<b，则下列式子一定成立的有________．①logab＋logba≥2②logab＋logba≥－2③logab＋logba≤－2④logab＋logba>25．若lgx＋lgy＝1，则＋的最小值为________．6．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列不等式中恒成立的是________．①a＋b＋≥2②(a＋b)≥4③≥2④>7．设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.8．已知x>y>0，xy＝1，求证：≥2.二、能力提升9．若a<1，则a＋有最______(填“大”或“小”)值，为__________．10．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．11．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为________．12．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.求证：＋＋<＋＋.三、探究与拓展13．已知a>b>0，求证：a2＋≥16.答案1．4 2.④ 3.m>n 4.③ 5.26．①②③7．证明 ∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．-3-\n∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，三式相加得2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.8．证明 ∵xy＝1，∴＝＝＝(x－y)＋≥2＝2.当且仅当，即时取等号．9．大 －1 10. 11.112．证明 ∵＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2，∴2≥2(＋＋)，即＋＋≥＋＋.∵a，b，c为不等正实数，∴＋＋<＋＋.13．证明 方法一 ∵a>b>0，∴a－b>0.∴a2＋＝[(a－b)＋b]2＋≥[2]2＋＝4(a－b)b＋≥4×2＝16.取“＝”时当且仅当：a－b＝b>0且(a－b)b＝>0，即当a＝2且b＝时“＝”成立．方法二 ∵a>b>0，-3-\n∴a－b>0，b(a－b)≤2＝，当且a＝2b时取等号，∴a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝16.当a＝2，b＝时，等号成立．-3-
