§3.2 一元二次不等式(二) 一、基础过关1．设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中元素的个数是________．2．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实数根，则m的取值范围是________．3．不等式≤3的解集为__________．4．若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.5．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝________.6．函数y＝对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________．7．国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.8．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．二、能力提升9．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是________．10．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1(i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是________．11．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是________．12．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．三、探究与拓展13．已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．-3-\n答案1．6 2.0<m≤1 3.4．4 5.{x|0<x≤1} 6.0≤m≤27．解 设税率调低后的“税收总收入”为y元．y＝2400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－m(x2＋42x－400)(0<x≤8)．依题意，y≥2400m×8%×78%即－m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%整理得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.根据x的实际意义，知0<x≤8，所以0<x≤2为所求．8．解 设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m满足不等式组解得－<m<－.9．－2≤a<10.解析 由(1－aix)2<1，得1－2aix＋(aix)2<1，即aix(aix－2)<0.又a1>a2>a3>0，∴0<x<，即x<，x<且x<.∵>>>0∴0<x<.11．x<1或x>312．解 税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，即f(P)＝80(80－10P)，税金为80(80－10P)·P%，-3-\n其中0<P<8.(1)由解得2≤P≤6.(2)∵f(P)＝80(80－10P)(2≤P≤6)为减函数，∴当P＝2时，f(2)＝4800(万元)．(3)∵0<P<8，g(P)＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128，∴当P＝4时，国家所得税金最高，为128万元．13．解 (1)不等式化为(x－1)p＋x2－2x＋1>0，令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，则f(p)的图象是一条直线．又∵|p|≤2，∴－2≤p≤2，于是得即即 ∴x>3或x<－1.故x的取值范围是x>3或x<－1.(2)不等式可化为(x－1)p>－x2＋2x－1，∵2≤x≤4，∴x－1>0.∴p>＝1－x.由于不等式当2≤x≤4时恒成立，∴p>(1－x)max.而2≤x≤4，∴(1－x)max＝－1，于是p>－1.故p的取值范围是p>－1.-3-
