§3.3 导数在研究函数中的应用3．3.1 单调性一、基础过关1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的________条件．2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是________．3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是______．①y＝sinx；②y＝xe2；③y＝x3－x；④y＝lnx－x.4．已知函数f(x)＝＋lnx，则f(2)、f(e)、f(3)的大小关系为________．5．函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的单调递增区间为______．6．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是________．(填序号)7．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．-4-\n二、能力提升8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1，2]，则b＝________，c＝________.9．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则a的取值范围为________．10.已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，试画出函数y＝f(x)的大致图象．11．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－lnx；(2)y＝.12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间．-4-\n答案1．充分不必要2．(2，＋∞)3．②4．f(2)<f(e)<f(3)5.6．①7.∪[2,3)8．－ －69．a≤010．解 由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：x<－2或x>2时，f′(x)<0，－2<x<2时，f′(x)>0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0.故原函数y＝f(x)的图象大致如下：11．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，由y′>0，得x>1；由y′<0，得0<x<1.∴函数y＝x－lnx的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为{x|x≠0}，y′＝－，∵当x≠0时，y′＝－<0恒成立．∴函数y＝的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间．12．解 (1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.-4-\n∴，即解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x)>0，得x<1－或x>1＋；令f′(x)<0，得1－<x<1＋.故f(x)＝x3－3x2－3x＋2在(－∞，1－)和(1＋，＋∞)内是增函数，在(1－，1＋)内是减函数．13．解 (1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx.令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，当m>0时，解得x<0或x>2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，解得0<x<2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．综上，当m>0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)．-4-
