2.2.2 函数的奇偶性一、基础过关1．下列说法正确的是________．(填序号)①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；②如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；③如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；④如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数．2．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，正确的是________．(填序号)①f(－x)＋f(x)＝0；②f(－x)－f(x)＝－2f(x)；③f(x)·f(－x)≤0；④＝－1.3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是________函数(填“奇”“偶”“非奇非偶”)．4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________________．5．给出函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是________．(填序号)①(a，－f(a))；②(a，f(－a))；③(－a，－f(a))；④(－a，－f(－a))．6．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，则实数m的取值范围为________．7．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x4；(2)f(x)＝x5；(3)f(x)＝x＋；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝；(6)f(x)＝＋.8．已知函数f(x)＝(a，b，c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值．二、能力提升9．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x-5-\n)＝0的所有实根之和是______．10．若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________.11．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a)>f(2a)，则实数a的取值范围是______________．12．已知函数f(x)＝1－.(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．三、探究与拓展13．已知奇函数f(x)＝.(1)求实数m的值，并画出y＝f(x)的图象；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．-5-\n答案1．②④2．①②③3．偶4．(－2,0)∪(2,5]5．②6．－1≤m<7．解 (1)对于函数f(x)＝x4，其定义域为R，因为定义域内的每一个x，都有f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以，函数f(x)＝x4为偶函数．(2)对于函数f(x)＝x5，其定义域为R，因为定义域内的每一个x，都有f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)．所以，函数f(x)＝x5为奇函数．(3)函数f(x)＝x＋的定义域为{x|x∈R且x≠0}，因为定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，所以，函数f(x)＝x＋为奇函数．(4)根据偶函数的定义，易得f(x)＝为偶函数．(5)对于函数f(x)＝，其定义域为{x|x≥0}，因为函数的定义域关于原点不对称，所以函数f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数．(6)对于函数f(x)＝＋，其定义域为{－1,1}，因为定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)，故函数f(x)＝＋为偶函数．又f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝＋为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．8．解 ∵函数f(x)＝是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，因此，有＝－，∴c＝－c，即c＝0.又∵f(1)＝2，∴a＋1＝2b，由f(2)<3，得<3，解得－1<a<2.-5-\n∵a，b，c∈Z，∴a＝0或a＝1，当a＝0时，b＝D∈/Z(舍去)．当a＝1时，b＝1.综上可知，a＝1，b＝1，c＝0.9．010．－1511．(－∞，1)12．解 (1)由已知g(x)＝f(x)－a得，g(x)＝1－a－，∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，即1－a－＝－，解得a＝1.(2)f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．证明如下：设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1－－＝.∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>0，从而<0，即f(x1)<f(x2)．所以函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．13．解 (1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2.y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知f(x)＝，由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需，-5-\n解得1<a≤3.-5-
