第8讲 三角变换与解三角形1.掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及应用；能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．2.在复习过程中，要熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义、应用特点及常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法(化弦法、降幂法、角的变换法、“1”的变换等)；掌握化简、求值和解三角形的常规题型；要注意掌握公式之间的内在联系．3.近年来高考对三角函数与向量联系问题的考查有所增加，三角函数知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点，应给予充分的重视．新教材降低了对三角函数恒等变形的要求，但对两角和的正切的考查一直是重点．1.已知sinα＝，且α∈，则tanα＝________.答案：－2.已知cos＋sinα＝，则sin＝________． 答案：－解析：将cos＋sinα＝化为cosα＋sinα＋sinα＝，得sin＝，即sin＝.3.已知θ是第三象限的角，若sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ＝________．答案：解析：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝，∴sin22θ＝.∵2kπ＋π<θ<2kπ＋，∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π(k∈Z)．∴sin2θ>0，∴sin2θ＝.4.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝________．答案：解析：由正弦定理＝，将8b＝5c及C＝2B代入得＝，化简得＝，则cosB＝，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×－1＝.-8-\n题型一运用三角公式求值、求角例1已知α、β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－.求：(1)sin(α－β)的值；(2)cosβ的值．解：(1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.∵α为锐角，sinα＝，∴cosα＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.已知cosα＝，cos(α－β)＝且0<β<α<.求：(1)tan2α的值；(2)β.解：(1)∵cosα＝，α∈，∴sinα＝，即tanα＝4，∴tan2α＝－.(2)∵cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝，β∈，∴β＝.题型二运用正、余弦定理解三角形例2已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b、c.解：(1)由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理，得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sin＝.又0<A<π，故A＝.(2)△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.-8-\n解得b＝c＝2.在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c.(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a、b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解：(1)∵c＝2，C＝，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.∵△ABC的面积为，∴absinC＝，ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时，又0<A<π，∴A＝，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．题型三“角”或“1”的变换思想的应用例3已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)． (1)求f(x)的解析式；(2)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．解：(1)(解法1)注意角的变换2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝(α＋β)－α.由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，则sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα，即＝2tanα，即＝2x，∴y＝，即f(x)＝.(解法2)直接展开，利用“1”的变换．∵sin2αcosβ＋cos2αsinβ＝3sinβ，∴2sinαcosαcosβ＋(cos2α－sin2α)sinβ＝3sinβ，∴＋tanβ＝3tanβ，∴＋tanβ＝3tanβ，∴y＝，即f(x)＝.(2)∵α角是一个三角形的最小内角，∴0<α≤，∴0＜x≤.又f(x)＝，设g(x)＝2x＋，则g(x)＝2x＋≥2(当且仅当x＝时取等号)，故函数f(x)的值域为-8-\n.已知向量a＝，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝，b＝2，sinB＝，求f(x)＋4cos，x∈的取值范围．解：(1)∵a∥b，∴cosx＋sinx＝0，∴tanx＝－.cos2x－sin2x＝＝＝.(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin＋.由正弦定理得＝可得sinA＝，所以A＝或A＝.因为b>a，所以A＝.f(x)＋4cos＝sin－.∵x∈，∴2x＋∈，∴－1≤f(x)＋4cos≤－.题型四三角公式的综合应用例4设△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，且b2＝ac.(1)求证：cosB≥；(2)若cos(A－C)＋cosB＝1，求∠B的大小．(1)证明：因为cosB＝＝≥＝，所以cosB≥.(2)解：因为cos(A－C)＋cosB＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sinAsinC＝1，所以sinAsinC＝.又由b2＝ac，得sin2B＝sinAsinC＝，所以sinB＝.由(1)得∠B＝.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，角B所对的边b＝，且函数f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx－在x＝A处取得最大值．求：(1)f(x)的值域及周期；(2)△ABC的面积．解：(1)因为A、B、C成等差数列，所以2B＝A＋C.-8-\n又A＋B＋C＝π，所以B＝，即A＋C＝.因为f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx－＝(2sin2x－1)＋sin2x＝sin2x－cos2x＝2sin，所以T＝＝π.因为sin∈[－1，1]，所以f(x)的值域为[－2，2]．(2)因为f(x)在x＝A处取得最大值，所以sin＝1.因为0<A<π，所以－<2A－<π，故当2A－＝时，f(x)取到最大值，所以A＝π，所以C＝.由正弦定理，知＝c＝.又因为sinA＝sin＝，所以S△ABC＝bcsinA＝.1.(2022·上海卷)若cosxcosy＋sinxsiny＝，则cos(2x－2y)＝________.答案：－解析：cos(x－y)＝，cos(2x－2y)＝cos2(x－y)＝2cos2(x－y)－1＝－1＝－.2.(2022·安徽卷)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c.若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________．答案：解析：由已知条件和正弦定理得3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝，c＝2a－b＝，cosC＝＝－.又0<C<π，因此角C＝.3.(2022·天津卷)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA＝________．答案：－-8-\n解析：因为2sinB＝3sinC，所以2b＝3c，所以b＝c，代入b－c＝a得a＝2c，由余弦定理得cosA＝＝－.4.(2022·江苏卷)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．答案：解析：由已知sinA＋sinB＝2sinC及正弦定理可得a＋b＝2c，cosC＝＝＝≥＝，当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立．5.(2022·重庆卷)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2＝b2＋c2＋bc.(1)求A；(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．解：(1)由余弦定理，得cosA＝＝＝－.又0<A<π，所以A＝.(2)由(1)得sinA＝，又由正弦定理及a＝，得S＝bcsinA＝··asinC＝3sinBsinC.因此S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)，所以，当B＝C，即B＝＝时，S＋3cosBcosC取最大值3.6.(2022·广东卷)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.解：(1)f＝Asin＝，∴A·＝，A＝.(2)f(θ)＋f(－θ)＝sin＋sin＝，∴＝，∴cosθ＝，cosθ＝.又θ∈，∴sinθ＝＝，f＝sin(π－θ)＝sinθ＝.-8-\n(本题模拟高考评分标准，满分14分)(2022·南通、扬州三模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知＝.(1)求角B的大小；(2)设T＝sin2A＋sin2B＋sin2C，求T的取值范围．解：(1)在△ABC中，＝＝＝＝.(3分)因为sinC≠0，所以sinBcosC＝2sinAcosB－sinCcosB，所以2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA.(5分)因为sinA≠0，所以cosB＝.因为0＜B＜π，所以B＝.(7分)(2)T＝sin2A＋sin2B＋sin2C＝(1－cos2A)＋＋(1－cos2C)＝－(cos2A＋cos2C)＝－[cos2A＋cos]＝－＝－cos.(11分)因为0＜A＜，所以0＜2A＜，故＜2A＋＜，因此－1≤cos＜，所以＜T≤.(14分)1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则∠B＝________．答案：或解析：由余弦定理得＝cosB，∴tanB·cosB＝，即sinB＝，故∠B为或.2.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且＝.(1)求∠B的大小；(2)若△ABC最大边的边长为，且sinC＝2sinA，求最小边边长．-8-\n解：(1)由＝，整理得(a＋c)c＝(b－a)(a＋b)，即ac＋c2＝b2－a2，∴cosB＝＝－＝－.∵0＜B＜π，∴B＝.(2)∵B＝，∴最长边为b.∵sinC＝2sinA，∴c＝2a，∴a为最小边．由余弦定理得()2＝a2＋4a2－2a·2a·，解得a2＝1，∴a＝1，即最小边边长为1.3.在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c.(1)若c＝2，∠C＝，且△ABC的面积S＝，求a、b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解：(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.又△ABC的面积等于，所以absinC＝，即ab＝4，联立方程组解得a＝2，b＝2.(2)由题意得sinBcosA＝sinAcosA，当cosA＝0时，∠A＝，则△ABC为直角三角形；当cosA≠0时，得sinB＝sinA.由正弦定理得a＝b，则△ABC为等腰三角形．所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．4.在△ABC中，a、b、c是三个内角∠A、∠B、∠C的对边，关于x的不等式x2cosC＋4xsinC＋6＜0的解集是空集．(1)求∠C的最大值；(2)若c＝，△ABC的面积S＝，求当∠C取最大值时a＋b的值．解：(1)∵不等式x2cosC＋4xsinC＋6＜0的解集是空集，∴即得故cosC≥，而cosC＝0时解集不是空集，∴∠C的最大值为60°.(2)当C＝60°时，S△ABC＝absinC＝ab＝，∴ab＝6.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝，∴a＋b＝.-8-
