微专题1圆锥曲线中的最值与范围问题1.（2021北京房山高二期末）已知双曲线x24+y2k=1的离心率1＜e＜2，则实数k的取值范围是()A.k＜0或k＞3B.-3＜k＜0C.-12＜k＜0D.-8＜k＜3答案：C2.（2021北京丰台高二期末）已知点M在椭圆x218+y29=1上运动，点N在圆x2+(y-1)2=1上运动，则|MN|的最大值为()A.1+19B.1+25C.5D.112答案：B解析：设圆x2+(y-1)2=1的圆心为C，则C(0,1)，半径r=1，则|MN|≤|MC|+r=|MC|+1，设M(x0,y0)，则x0218+y029=1⇒x02=18-2y02，所以|MC|=x02+(y0-1)2=x02+y02-2y0+1=18-2y02+y02-2y0+1=-y02-2y0+19=-(y0+1)2+20≤25，当且仅当y0=-1时，|MC|取得最大值25，所以|MN|≤|MC|+1≤25+1.3.（2021重庆八中高二期中）若点O和点F分别为双曲线x22-y2=1的中心和左焦点，点P为该双曲线上的任意一点，则OP⋅FP的最小值为()A.2+6B.2-6C.12D.-32答案：B解析：由题意，点O(0,0)，点F(-3,0)，设点P(x,y)，则x22-y2=1⇒y2=x22-1,x∈(-∞-2]∪[2,+∞)，所以OP=(x,y)，FP=(x+3,y)，所以OP⋅FP=x(x+3)+y2=x2+3x+x22-1=32(x+33)2-32，所以当x=-2时，OP⋅FP取得最小值，为32×(-2+33)2-32=2-6.5
4.（2021安徽淮北一中高二期中）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的渐近线方程为y=±3x，若动点P在C的右支上，F1,F2分别为C的左、右焦点，OP⋅OF2的最小值是2a（其中O为坐标原点），则|PF1|2|PF2|的最小值为()A.4B.8C.16D.24答案：B解析：易知当点P为双曲线的右顶点时，OP⋅OF2取得最小值2a，即a⋅c=2a，所以c=2，由ba=3,c=2,c2=a2+b2,解得a=1，b=3，设|PF2|=t(t≥1)，则|PF1|=t+2，所以|PF1|2|PF2|=(t+2)2t=t+4t+4≥2t×4t+4=8（当且仅当t=4t，即t=2时取等号），即|PF1|2|PF2|的最小值为8.5.（多选题）已知F1,F2为椭圆x24+y23=1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下面四个结论中正确的是()A.|MF2|的最大值大于3B.|MF1|⋅|MF2|的最大值为4C.∠F1MF2的最大值为60∘D.若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为l上满足|PA|⋅|PB|=2的点，则点P的轨迹方程为x22+2y23=1或x26+2y29=1答案：B;C;D解析：由椭圆方程得a2=4，b2=3，∴c2=1，因此F1(-1,0)，F2(1,0).选项A中，|MF2|max=a+c=3，A中结论错误；选项B中，|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=4，当且仅当|MF1|=|MF2|=2时取等号，B中结论正确；选项C中，当点M为短轴的端点时，∠F1MF2取得最大值，取M(0,3)，则tan∠F1MF22=cb=33，∴∠F1MF22=30∘，∴∠F1MF2的最大值为60∘，C中结论正确；选项D中，设P(x,y)，A(x1,y)，则B(-x1,y).5
∵|PA|⋅|PB|=2，∴|x-x1|⋅|x+x1|=2，∴|x2-x12|=2，即x12=x2+2或x12=x2-2.又由题意知x124+y23=1，∴x2-24+y23=1或x2+24+y23=1,化简得x26+2y29=1或x22+2y23=1，D中结论正确.6.（2021山东乳山第一中学高二月考）已知两点A(-1,0)，B(0,1)，点P是椭圆x216+y29=1上任意一点，则点P到直线AB距离的最大值为()A.42B.32C.6D.62答案：B解析：由A(-1,0)，B(0,1)得直线AB的方程为y=x+1，由图可知，直线y=x+m(m＜0)和椭圆相切于点P时，点P到直线AB的距离最大.联立得y=x+m,x216+y29=1,整理得25x2+32mx+16 m2-144=0，∵直线y=x+m和椭圆相切，∴Δ=(32m)2-4×25×(16 m2-144)=0，解得m=-5或m=5（舍去），∵直线y=x+1与直线y=x-5之间的距离d=|1-(-5)|12+(-1)2=32，∴点P到直线AB距离的最大值为32，故选B.素养提升练7.（2021北京平谷五中高二期中）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的离心率等于32，且点(-22,5)在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上的任意一点，求PA1⋅PF2的最小值.5
答案：（1）依题意有ca=32,8a2-5b2=1,c2=a2+b2,解得a2=4，b2=5，c2=9，故双曲线的方程为x24-y25=1.（2）由已知得A1(-2,0)，F2(3,0)，设P(x,y)(x≥2)，于是PA1=(-2-x,-y)，PF2=(3-x,-y)因此PA1⋅PF2=x2-x-6+y2=x2-x-6+54x2-5=94x2-x-11=94(x-29)2-1009，因为x≥2，所以当x=2时，PA1⋅PF2取得最小值，且最小值为-4.8.点A、B分别是椭圆x236+y220=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PA⊥PF.（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.答案：（1）由已知可得点A(-6,0)，F(4,0)，设点P的坐标为(x,y)，则AP=(x+6,y)，FP=(x-4,y)，∵PA⊥PF，∴AP⋅FP=0，即(x+6)(x-4)+y2=0，即x2+2x-24+y2=0.由x236+y220=1,x2+2x-24+y2=0,消去y得2x2+9x-18=0，解得x=32或x=-6，∵点P位于x轴的上方，∴x=32，于是y=532，∴点P的坐标是(32,532).（2）由（1）得直线AP的方程是y-0532-0=x+632+6，即x-3y+6=0，设点M的坐标为(m,0)，-6≤m≤6，则M到直线AP的距离是|m+6|2，于是|m+6|2=|m-6|，解得m=2或m=18（舍去），∴M(2,0).设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d，∴d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-59x2=49(x-92)2+15.∵-6≤x≤6，∴当x=92时，d取得最小值，为15.5
9.已知抛物线C:y2=2px(p＞0)，点F为抛物线C的焦点，点A(1,a)在抛物线C上，且|FA|=2，过点F作斜率为k的直线l与抛物线C交于P，Q两点.（1）求抛物线C的方程；（2）若△APQ面积的取值范围为[5,85]，求k的取值范围.答案：（1）由抛物线的定义得|FA|=1+p2=2，所以p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x.（2）由（1）知F(1,0)，所以设直线l的方程为y=k(x-1)，P(x1,y1)，Q(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，由根与系数的关系得x1+x2=2k2+4k2，x1x2=1.由题意知AF⊥x轴，所以S△APQ=12×|AF|×|x1-x2|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(2k2+4k2)2-4=16k4+16k2=41k2+1k4.令t=1k2(t＞0)，所以S△APQ=4t2+t.又△APQ面积的取值范围为[5,85]，即5≤4t2+t≤85，所以516≤t2+t≤20，得14≤t≤4，即14≤k2≤4，所以-2≤k≤-12或12≤k≤2，所以k的取值范围是[-2,-12]∪[12,2].5
