考点规范练54 古典概型一、非标准1.(2022江西,文3改编)掷两枚均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( ) A.B.C.D.2.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点落在直线2x+y=8上的概率为( )A.B.C.D.3.从个位数字与十位数字之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是( )A.B.C.D.4.(2022湖北,文5)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则( )A.p1<p2<p3B.p2<p1<p3C.p1<p3<p2D.p3<p1<p25.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A.B.C.D.6.(2022广东,文12)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为 . 7.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是 . 8.曲线C的方程为=1,其中m,n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数,如果事件A为“方程=1表示焦点在x轴上的椭圆”,那么P(A)= . 9.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,-3).求:(1)使得事件“a⊥b”发生的概率;8\n(2)使得事件“|a|≤|b|”发生的概率.10.(2022山东,文16)海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.8\n11.某运动会在沈阳举行,运动会期间来自A大学2名和B大学4名共计6名大学生志愿者,现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务,至少有一名A大学志愿者的概率是( )A.B.C.D.8\n12.连掷两次骰子分别得到点数m,n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.B.C.D.13.在集合A={2,3}中随机取一个元素m,在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2+y2=9内部的概率为 . 14.已知集合M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A是集合N中任意一点,O为坐标原点,则直线OA与y=x2+1有交点的概率是 . 15.(2022四川,文16)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.16.小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.8\n(1)写出数量积X的所有可能取值;(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.##一、非标准1.B 解析:掷两枚均匀的骰子,共有36个基本事件,其中和为5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个.故所求概率为.2.B 解析:依题意,以(x,y)为坐标的点共6×6=36个,其中落在直线2x+y=8上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共3个,故所求事件的概率P=.3.D 解析:(1)当个位为奇数时,有5×4=20个符合条件的两位数.(2)当个位为偶数时,有5×5=25个符合条件的两位数.因此共有20+25=45个符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,8\n故所求概率为P=.4.C 解析:由题意可知,p1=,p2=1-p1=,p3=.故选C.5.D 解析:由题意知,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙,丁,戊)这1种,则其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种,故所求概率P=.6. 解析:基本事件总数有10个,即(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中含a的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共4个,故由古典概型知所求事件的概率P=.7. 解析:从{1,2,3,4,5}中选取一个数a有5种取法,从{1,2,3}中选取一个数b有3种取法.所以选取两个数a,b共有5×3=15个基本事件.满足b>a的基本事件共有3个.因此b>a的概率P=.8. 解析:试验中所含基本事件个数为36,若想表示椭圆,则先后两次的骰子点数不能相同,则去掉6种可能,既然椭圆焦点在x轴上,则m>n,又只剩下一半情况,即有15种,因此P(A)=.9.解:(1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},则(m,n)所有可能的取法共36种.使得a⊥b,即m-3n=0,即m=3n,共有2种:(3,1),(6,2),故事件a⊥b的概率为.(2)|a|≤|b|,即m2+n2≤10,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种,故其概率为.10.解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50×=1,150×=3,100×=2.所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共15个.8\n每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D:“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件D包含的基本事件有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共4个.所以P(D)=,即这2件商品来自相同地区的概率为.11.C 解析:记2名来自A大学的志愿者为A1,A2,4名来自B大学的志愿者为B1,B2,B3,B4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4),共15种.其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种.故所求概率P=.12.A 解析:∵(m,n)·(-1,1)=-m+n<0,∴m>n.基本事件总共有6×6=36个,符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共1+2+3+4+5=15(个).则P=,故选A.13. 解析:点P(m,n)有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,只有(2,1),(2,2)这2个点在圆x2+y2=9的内部,所求概率为.14. 解析:易知过点(0,0)与y=x2+1相切的直线为y=2x(斜率小于0的无需考虑),集合N中共有16个元素,其中使OA斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4个,由古典概型知概率为.15.解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.所以P(A)=.因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,8\n则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.所以P(B)=1-P()=1-.因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.16.解:(1)X的所有可能取值为-2,-1,0,1.(2)数量积为-2的有,共1种;数量积为-1的有,共6种;数量积为0的有,共4种;数量积为1的有,共4种.则所有可能的情况共有15种.因此小波去下棋的概率为P1=;因为去唱歌的概率为P2=,所以小波不去唱歌的概率P=1-P2=1-.8
