第5讲 函数的性质(一)——单调性 1.(2022·广东卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝ln(x＋2)B．y＝－C．y＝()xD．y＝x＋ 2.(2022·安徽宿州模拟)若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增 3.(2022·海淀模拟)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f()的x的取值范围是( )A．(，)B．[，)C．(，)D．[，) 4.若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是( )A．(－2，＋∞)B．(，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，) 5.函数y＝()2x2－3x＋1的递减区间为________________． 6.(1)函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上递增，则b的取值范围是________；(2)函数y＝x2＋bx＋c的单调增区间是[0，＋∞)，则b的值为______． 7.判断函数f(x)＝(a≠0)在(－1，＋∞)上的单调性，并证明． 8.设奇函数f(x)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且4\nf(1)＝0，则不等式<0的解集是__________． 9.若函数f(x)＝在区间(m，2m＋1)上单调递增，则m的取值范围为________．10.(2022·南昌模拟题)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0，都有f()＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明；(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f()<2.4\n第5讲1．A 2.B 3.A 4.B 5.[，＋∞) 6.(1)b≥0 (2)07．解析：当a>0时，函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；当a<0时，函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．证明：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.因为－1<x1<x2，所以x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，所以当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上是增函数，又当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上是减函数．或用导数法：因为f′(x)＝(x>－1)，当a>0时，f′(x)>0，f(x)在(－1，＋∞)上递增；当a<0时，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋∞)上递减．8．(－1，0)∪(0，1) 解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝0＝f(－1)．又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由f(x)>0可得x∈(－1，0)∪(1，＋∞)，由f(x)<0可得x∈(－∞，－1)∪(0，1)，所以<0，即<0的解集为(－1，0)∪(0，1)．9．(－1，0] 解析：因为f′(x)＝.令f′(x)>0，得－1<x<1，所以f(x)的增区间为(－1，1)．又因为f(x)在(m，2m＋1)上单调递增，所以，所以－1≤m≤0.因为区间(m，2m＋1)隐含2m＋1>m，即m>－1，所以－1<m≤0.10．解析：(1)令x＝y>0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0，所以f(1)＝0.(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，f()>0，所以f(x1)－f(x2)＝f()>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)因为f(6)＝1，所以f(36)－f(6)＝f(6)，所以f(36)＝2f(6)＝2.由f(x＋3)－f()<2，得f(x2＋3x)<f(36)，4\n所以⇒⇒0<x<.所以原不等式的解集为(0，)．4
