第5讲 函数的性质(一)——单调性、奇偶性 1.(2022·广东卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝ln(x＋2)B．y＝－C．y＝()xD．y＝x＋ 2.设f(x)是定义在R上的增函数，F(x)＝f(x)－f(－x)，那么F(x)必为( )A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数 3.已知函数f(x)是定义在R上的减函数，a∈R，则下列不等式恒成立的是( )A．f(a2＋a)<f(a)B．f(a2＋a)>f(a)C．f(a2＋1)<f(a)D．f(a2＋1)>f(a) 4.下列命题正确的是( )A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1、x2∈(a，b)，使得x1<x2时有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，0)上为减函数C．若f(x)是R上的增函数，则F(x)＝f(x)－f(－x)为R上的增函数D．存在实数m，使f(x)＝x2＋mx＋1为奇函数 5.(2022·安徽合肥)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则满足f()<f(x)的x的取值范围为________________． 6.函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是__________． 7.已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．4\n 1.(2022·永州模拟)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(b＋0.5)恒为( )A．正数B．负数C．0D．不能确定 2.(2022·衡阳市第一次月考)函数f(x)＝在x∈R内单调递减，则a的取值范围是( )A．(0，]B．[，1)C．[，]D．[，1) 3.已知函数f(x)＝.(1)求证：函数f(x)为偶函数；(2)判断f(x)分别在区间(0，2]，[2，＋∞)上的单调性并加以证明．第5讲巩固练习1．A 解析：F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，排除B、D.因为f(x)为增函数，所以f(－x)为减函数．所以F(x)＝f(x)－f(－x)为增函数．2．C 解析：因为a2＋a－a＝a2≥0，即a2＋a≥a，所以f(a2＋a)≤f(a)，故排除A、B.而a2＋1－a＝(a－)2＋>0，即a2＋1>a，4\n所以f(a2＋1)<f(a)，故选C.3．C 解析：由增函数定义，应对任意实数x1、x2，A错；由奇函数在对称区间上单调性相同，则f(x)在(－∞，0)上也为增函数，B错；由f(x)为R上的增函数，f(－x)为R上的减函数，又增－减＝增，故F(x)＝f(x)－f(－x)为R上的增函数，C正确；D中不存在实数m，使f(－x)＝－f(x)成立，D错误．4．D 解析：依题意，⇒⇒0<a≤2，故选D.5．－2≤x<－1或x>2 解析：由题意得<|x|，即，解之得－2≤x<－1或x>2.6．[0，]解析：y＝－(x－3)|x|＝，作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，]．7．解析：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(图略)知，所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．提升能力1．B 解析：由f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，即20＋2×0＋b＝0⇒b＝－1，所以f(x)＝2x＋2x－1，此时f(b＋0.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－[2＋2×－1]＝－＜0，故选B.2．[2，＋∞) [－1,1]解析：f(x)＝x2(x≥－1)的图象如图(1)所示，要使得f(－1＋m)≥f(－1)＝1，有m≥2；x≥－1时，恒有f(x＋2)≥f(x)，故m≥2即可；由f(x)为奇函数及x≥0时的解析式知f(x)的图象如(2)图所示， 因为f(3a2)＝a2＝f(－a2)，4\nf(－a2＋4)≥f(－a2)＝a2＝f(3a2)，故－a2＋4≥3a2，从而a2≤1，又a2≤1时，恒有f(x＋4)≥f(x)，故a2≤1即可．3．解析：(1)证明：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．(2)当x>0时，f(x)＝＝x＋＋1，当x1，x2∈(0,2]，且0<x1<x2≤2时，f(x1)－f(x2)＝(x1＋＋1)－(x2＋＋1)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)[]又0<x1<x2≤2⇒x1－x2<0,0<x1x2<4.所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0,2]上单调递减，同理f(x)在[2，＋∞)上单调递增，(也可用导数方法或由特征函数法求解)4
