第11讲 函数的值域与最值 1.“函数y＝f(x)的值域为(－2，2)”是“函数f(x)无最值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件 2.已知x>0，则函数f(x)＝3x＋的最小值是( )A.B.C．3D．9 3.函数f(x)＝loga(x＋1)的定义域和值域均为[0，1]，则a的值等于( )A.B.C.D．2 4.函数f(x)＝(x>0)的值域为( )A．(0，＋∞)B．(0，)C．(0，]D．[，＋∞) 5.已知函数f(x)＝2－x2，g(x)＝x，定义F(x)＝min{f(x)、g(x)}(min表示取f(x)与g(x)中的较小者)，则F(x)的最大值为______． 6.若函数y＝ax2－2ax(a≠0)在区间[0，3]上有最大值3，则a的值为__________． 7.(2022·清远盛兴中学)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，都有f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．4\n 1.设t>0，函数f(x)＝的值域为M.若4∉M，则t的取值范围是________________． 2.(2022·桂林中学)某工厂生产某种产品，已知该产品每吨的价格P(元)与产量x(吨)之间的关系式为P＝24200－x2，且生产x吨的成本为(50000＋200x)元，则该厂利润最大时，生产的产品的吨数为________． 3.(2022·江西模拟)函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数)．(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)在定义域上是减函数，求a的范围；(3)求函数y＝f(x)在x∈(0，1]上的最大值和最小值，并求出取最值时的x.第11讲巩固练习1．A 解析：由值域与最值关系易得．2．3 解析：易知函数y＝f(x)在(－2，＋∞)上为减函数，故ymax＝f(－1)＝()－1－log2(－1＋2)＝3.3．D 解析：因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，而0≤f(x)≤1，可知a>1且loga2＝1，所以a＝2.4．C 解析：当x>0时，f(x)＝，因为x＋≥2，故f(x)≤(当且仅当x＝1时成立)，故选C.5．1 解析：作出f(x)与g(x)的图象即知x＝1时，F(x)取最大值1.6．1或－3解析：因为y＝ax2－2ax＝a(x－1)2－a的对称轴为定直线x＝1且1∈[0,3]，由抛物线开口方向讨论：①当a>0时，开口向上，ymax＝f(3)＝9a－6a＝3a＝3，得a＝1；4\n②当a<0时，开口向下，ymax＝f(1)＝－a＝3，得a＝－3.综上可得a＝1或a＝－3.7．解析：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，设x1>x2≥1，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋＋2)－(x2＋＋2)＝(x1－x2)·，又因为x1>x2≥1，所以x1－x2>0，>1，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，所以最小值为f(1)＝.(2)方法1：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立，设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)内递增，所以当x＝1时，ymin＝3＋a，于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3.方法2：f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)，当a≥0时，函数f(x)的值恒为正，当a<0时，函数f(x)递增，故当x＝1时，f(x)max＝3＋a，于是当且仅当f(x)min＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，即a>－3.方法3：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立⇔a>－x2－2x恒成立；又因为x∈[1，＋∞)，a>－x2－2x恒成立；所以a应大于u＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)的最大值，又u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1≤u(1)＝－3，所以a>－3.提升能力1．(，2]解析：当x<t时，f(x)的取值范围是(0,2t)，当x≥t时，f(x)的取值范围是(－∞，logt]，若4∉M，则2t≤4且logt<4，解之得<t≤2.2．200解析：利润y＝Px－(50000＋200x)＝24200x－x3－50000－200x＝24000x－x3－50000，由y′＝－x2＋24000＝0⇒x＝200或x＝－200(舍去)，在定义域(0，＋∞)上只有一极大值数，故为最大值数．3．解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝2x＋≥2(当且仅当x＝时取最值)，故值域为[2，＋∞)．(2)若函数y＝f(x)在定义域上是减函数，则任取x1、x2∈(0,1]且x1<x2都有f(x1)>f(x2)成立，4\n即(x1－x2)(2＋)>0，只要a<－2x1x2即可，由x1、x2∈(0,1]，故－2x1x2∈(－2,0)，所以a≤－2.(3)当a≥0时，函数f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，f(x)max＝f(1)＝2－a；当a≤－2时，由(2)知y＝f(x)在(0,1]单调递减，无最大值，f(x)min＝f(1)＝2－a；当－2<a<0时，函数f(x)在(0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，无最大值，f(x)min＝f()＝2.4
