【优化指导】2022高考数学总复习第1节矩阵变换及其性质、变换的复合与二阶矩阵的乘法课时演练新人教A版选修4-2一、选择题1．方程组用矩阵与向量的乘法形式可表示为( )A.＝B.＝3．函数y＝x2在矩阵M＝变换作用下的结果为( )A．y＝x2 B．y＝4x2C．y＝ D．y＝4解析：＝＝可得代入y＝x2得y′＝x′2，即为所求曲线方程．答案：A4．已知M＝，N＝，下面二阶矩阵X，能使MX＝N成立的是( )6\nk为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC的面积的2倍，则k的值为( )A．2 B．－2 C．±2 D．±3解析：由题设得MN＝＝.由＝，＝，＝，可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)．∴S△A1B1C1＝|k|×2＝|k|，又S△ABC＝×2×1＝1.由题设知|k|＝2×1＝2，所以k＝±2.答案：C6\n6．在变换M＝作用下，三角形变为( )A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形解析：M＝，所以这是一个顺时针旋转45°的旋转变换．由三角形的矩阵表示知，三个顶点分别为O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)，则在旋转变换M下，O(0,0)→O(0,0)，A(1,0)→A′，B(1,1)→B′(，0)，所以变换后的新三角形为，新三角形为等腰直角三角形．答案：C二、填空题7．已知矩阵A＝，向量β＝，若向量α，使得A2α＝β，则α＝______.解析：设α＝，由A2α＝β，得＝，即解得故α＝.答案：8．曲线x2＋y2＝1，依次经过矩阵A＝，B＝变换作用下得到的曲线方程为________________．解析：∵BA＝＝.取曲线x2＋y2＝1上任一点P(x0，y0)，它在矩阵BA对应的变换作用下变为P′(x，y)，6\n则有＝.∴，∵P(x0，y0)在曲线x2＋y2＝1上．∴y2＋2＝1，即＋y2＝1.即所求曲线方程为＋y2＝1.答案：＋y2＝19．已知矩阵A＝，B＝.(1)计算AB＝______；(2)若矩阵B把直线l：x＋y＋2＝0变为直线l′，则直线l′的方程为__________________．三、解答题10．如果曲线x2＋4xy＋3y2＝1在矩阵的作用下变换得到曲线x2－y2＝1，求a＋b的值．解：在曲线x2＋4xy＋3y2＝1上任取一点P(x，y)，设点P(x，y)在矩阵的作用下变换得到点P′(x′，y′)，则＝.所以＝，6\n所以代入方程x′2－y′2＝1得(x＋ay)2－(bx＋y)2＝1.化简得(1－b2)x2＋2(a－b)xy＋(a2－1)y2＝1.从而解得，所以a＋b＝2.11．已知在一个二阶矩阵M的变换作用下，点A(1,2)变成了点A′(4,5)，点B(3，－1)变成了点B′(5,1)．(1)求矩阵M；(2)若在矩阵M的变换作用下，点C(x,0)变成了点C′(4，y)，求x，y.12．(金榜预测)设T是矩阵所对应的变换，已知A(1,0)且T(A)＝P.(1)设b>0，当△POA的面积为，∠POA＝，O为坐标原点，求a，b的值；(2)对于(1)中的a，b值，再设T把直线4x＋y＝0变换成x－y＝0，求c的值．解：(1)∵＝，∴点P坐标为(a，b)．∵b>0，S△POA＝，∠POA＝.6\n6
