X4-2-1线性变换与二阶矩阵练习苏教版选修4-2一、填空题1．直线2x＋y－1＝0经矩阵M＝的变换后得到的直线方程为________．解析：由变换矩阵M知坐标变换公式为，即代入直线方程2x＋y－1＝0得2x′＋y′＋1＝0，即2x＋y＋1＝0.答案：2x＋y＋1＝02．在某个旋转变换中，顺时针旋转所对应的变换矩阵为________．解析：顺时针旋转即逆时针旋转π，变换矩阵为＝＝.答案：3．在矩阵变换下，点A(2，1)将转换为________，这是一种________变换．解析：∵＝，即点A(2，1)经过变换后变为A′(4，1)，所以该变换为平行于x轴的切变变换．答案：(4，1) 切变4．已知B＝，C＝，并且(AB)C＝，则矩阵A＝________．解析：∵(AB)C＝A(BC)，\n又BC＝，所以A＝，∴A＝＝＝.答案：5．有一矩阵对应的变换把图中△ABO变成△A′B′O，其中点A的象点为A′，点B的象点为B′，则该矩阵为________．解析：设所求矩阵为，则由＝，＝可得a＋2b＝1 ①，c＋2d＝3 ②，2a＋b＝－1 ③，2c＋d＝3 ④，由①、②、③、④解得a＝－1，b＝1，c＝1，d＝1，故所求矩阵为.答案：6．设a，b∈R，若矩阵A＝将直线l：x＋y－1＝0变为直线m：x－y－2＝0，则a，b的值为________．解析：在直线l上任取一点P(x，y)，经矩阵变换后为点P′(x′，y′)．则由＝＝，得所以ax＋y－by－2＝0，即ax＋(1－b)y－2＝0，于是由＝＝，解得a＝2，b＝－1.答案：2，－17．在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0，0)，B(－1，2)，C(0，3)，则△ABC在矩阵作用下变换所得到的图形的面积为________．解析：设A，B，C在矩阵的作用下的点为A′，B′，C′，\n∵＝，＝，＝，∴A′(0，0)，B′(－2，－1)，C′(－3，0)，∴S△A′B′C′＝|A′C′|·|yB′|＝×3×1＝.答案：8．设△OAB的三个点坐标为O(0，0)，A(A1，A2)，B(B1，B2)，在矩阵M＝对应的变换下作用后形成△OA′B′，则△OAB与△OA′B′的面积之比为________．解析：由题意知TM为切变换，故变换前后的图形面积大小不变．答案：1∶1二、解答题9．(2022·高考江苏卷)正如矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.解：∵A2＝＝设α＝，由A2α＝β，得＝∴解得∴α＝.10．设圆F：x2＋y2＝1在(x，y)→(x′，y′)＝(x＋2y，y)对应的变换下变换成另一图形F′，试求变换矩阵M及图形F′的方程．解：∵＝＝，∴M＝.∵圆上任意一点(x，y)变换为(x′，y′)＝(x＋2y，y)，∴，即.∵x2＋y2＝1，∴(x′－2y′)2＋(y′)2＝1.即F′的方程为(x－2y)2＋y2＝1.\n11．已知矩阵M＝和N＝，求证：MN＝NM.证明：MN＝＝，NM＝＝.故MN＝NM.12．已知梯形ABCD，其中A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)，D(1，2)，先将梯形作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M.(2)求点A，B，C，D在TM作用下所得到的结果．解：(1)关于x轴的反射变换矩阵为M1＝，逆时针旋转90°的变换矩阵为M2＝＝故M＝M2M1＝＝.(2)A′：＝，即A′(0，0)．B′：＝，即B′(0，3)．C′：＝，即C′(2，2)．D′：＝，即D′(2，1)．
