活页作业 简单的三角恒等变换一、选择题1．(2022·洛阳模拟)y＝(sinx－cosx)2－1是( )A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数解析：y＝(sinx－cosx)2－1＝－2sinxcosx＝－sin2x，故该函数为奇函数，且最小正周期为π.答案：D2．(2022·洛阳模拟)已知α是第三象限的角，且tanα＝2，则sin等于( )3．已知tanα和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a、b、c的关系是( )A．b＝a＋c B．2b＝a＋cC．c＝b＋a D．c＝ab解析：由题意得∴tan＝tan＝＝＝1，∴－＝1－，∴c＝a＋b.答案：C4．(理)已知函数f(x)＝sinx－cosx且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则8\n＝( )A．－ B． C. D．－解析：f′(x)＝cosx＋sinx，由f′(x)＝2f(x)得cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，故tanx＝3，所以＝＝＝＝－.答案：A4．(文)已知θ是第三象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ的值为( )5．若＝－，则sinα＋cosα的值为( )A．－ B．－ C. D．解析：＝8\n＝＝－2cos＝－2＝－(sinα＋cosα)＝－.所以sinα＋cosα＝.答案：C6．(2022·阳泉模拟)已知向量a＝，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin等于( )A．－ B．－ C. D．二、填空题7．(理)(2022·岳阳模拟)设α为第四象限的角，若＝，则tan2α＝________.解析：＝＝＝.∴2cos2α＋cos2α＝，2cos2α－1＋cos2α＝.∴cos2α＝.∵2kπ－<α<2kπ，∴4kπ－π<2α<4kπ，8\n又∵cos2α＝>0，∴2α为第四象限的角．∴sin2α＝－＝－，∴tan2α＝－.答案：－7．(文)(2022·德州模拟)已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan＝________.解析：∵α为第三象限的角，∴π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z.∴2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ，k∈Z.又∵cos2α＝－<0，∴2α为第二象限角．∴sin2α＝＝.∴tan2α＝＝－.∴tan＝＝＝－.答案：－8．已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是________________________________________________________________________．解析：方法一：设x＝cosαsinβ，则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋x，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－x.∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，∴∴∴－≤x≤.8\n方法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝x.即sin2αsin2β＝2x.由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤.答案：三、解答题9．(理)已知角A、B、C为△ABC的三个内角，＝(sinB＋cosB，cosC)，＝(sinC，sinB－cosB)，且·＝－.(1)求tan2A的值；(2)求的值．8\n9．(文)已知0<α<，β为f(x)＝cos的最小正周期，a＝，b＝(cosα，2)，且a·b＝m，求的值．解：∵β为f(x)＝cos的最小正周期，∴β＝π.∵a·b＝m，a·b＝cosαtan－2，∴cosαtan＝m＋2.8\n∵0<α<，∴cosα≠0，∴＝＝＝＝2cosα·＝2cosαtan＝2(2＋m)．10．(金榜预测)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且f＝.(1)求ω、φ的值；(2)若f＝－(0<α<π)，求cos2α的值．解：(1)由函数f(x)的周期为π，可得＝π，所以ω＝2.又由f＝，得2sin＝2cosφ＝，所以cosφ＝.又φ∈(0，π)，所以φ＝.(2)方法一：由f＝－，得sin＝－.因为α∈(0，π)，所以α＋∈.又sin＝－<0，所以α＋∈.所以cos＝－.所以cos2α＝sin＝2sincos＝.方法二：由f＝－，得sin＝－.因为α∈(0，π)，所以α＋∈.又sin＝－<0，8\n所以α＋∈.所以cos＝－.所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－.所以cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.8
