课时提升作业(十一)函数与方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=ln(x+1)-的一个零点所在的区间是( )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【解析】选B.由题意知,函数f(x)=ln(x+1)-的定义域为(-1,0)∪(0,+∞),结合四个选项可知,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)<0,f(2)>0,所以函数f(x)=ln(x+1)-的一个零点所在的区间是(1,2).2.(2022·天津模拟)二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:x-3-2-101234y6m-4-6-6-4n6可以判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是( )A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2)D.(-1,3)和(4,+∞)【解析】选A.由表格可得二次函数f(x)的对称轴为y=,a>0,再根据f(-3)f(-1)<0,f(2)f(4)<0,可得f(x)的零点所在的区间是(-3,-1)和(2,4),即方程ax2+bx+c=0的两个根所在的区间是(-3,-1)和(2,4).3.(2022·合肥模拟)函数f(x)=log2x-x+2的零点个数为( )A.0B.1C.3D.2【解析】选D.转化为判断y=log2x与y=x-2两函数图象的交点的个数,作图象如下:图象有两个交点,因此函数零点个数为2个.4.(2022·湖北高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-10-\n-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( )A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2-,1,3}D.{-2-,1,3}【解题提示】考查函数的奇偶性、零点及函数的方程思想.首先根据f(x)是定义在R上的奇函数,求出函数在R上的解析式,再求出g(x)的解析式,根据函数的零点就是方程的解,问题得以解决.【解析】选D.由f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,所以f(x)=所以g(x)=由解得x1=3,x2=1,由解得x=-2-,故选D.5.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )A.x2<x1<x3B.x1<x2<x3C.x1<x3<x2D.x3<x2<x1【解析】选B.依据零点的意义,转化为函数y=x分别和y=-2x,y=-lnx,y=+1的交点的横坐标大小问题,作出草图,易得x1<0<x2<1<x3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是 .【解析】由已知条件得2a+b=0,即b=-2a,g(x)=-2ax2-ax=-2ax(x+),则g(x)的零点是x=0,x=-.-10-\n答案:0,-7.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2015x+log2015x,则在R上,函数f(x)零点的个数为 .【解析】函数f(x)为R上的奇函数,因此f(0)=0,当x>0时,f(x)=2015x+log2015x在区间(0,)内存在一个零点,又f(x)为增函数,因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一解,从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.答案:38.若二次函数f(x)=x2-2ax+4在(1,+∞)内有两个零点,则实数a的取值范围为 .【解析】据二次函数图象应满足:即解得2<a<.答案:【一题多解】本题还可以采用如下方法:方法一:运用根与系数的关系.设x1,x2为方程x2-2ax+4=0的两根,则有x1+x2=2a,x1x2=4. ①要使原方程x2-2ax+4=0的两根x1,x2均大于1,则需满足将①代入上述不等式组中,解之,得2<a<.方法二:运用求根公式.方程x2-2ax+4=0的两根为x1,2==a±;且Δ>0,得a>2或a<-2.要使两根均大于1,只需小根a->1即可,解之得2<a<.-10-\n答案:【加固训练】若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的取值为 .【解析】当a=0时,函数f(x)=-x-1为一次函数,则-1是函数的零点,即函数仅有一个零点;当a≠0时,函数f(x)=ax2-x-1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2-x-1=0有两个相等实根.所以Δ=1+4a=0,解得a=-.综上,当a=0或a=-时,函数仅有一个零点.答案:0或-三、解答题(每小题10分,共20分)9.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.所以函数f(x)的零点为3或-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a2-a<0,解得0<a<1,因此实数a的取值范围是(0,1).【方法技巧】二次函数零点问题的解题技巧对于二次函数零点问题常转化为二次方程根的分布问题来解决,结合二次函数的图象从判别式,根与系数的关系、对称轴、端点函数值、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件,这里涉及三个“二次”问题的全面考虑和“数形结合思想”的灵活运用.【加固训练】是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴有且只有一个交点.若存在,求出a的范围;若不存在,说明理由.【解析】因为Δ=(3a-2)2-4(a-1)=9+>0,所以若存在实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,所以a≤-或a≥1.检验:①当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.-10-\n②当f(3)=0时,a=-,此时f(x)=x2-x-.令f(x)=0,即x2-x-=0,解得x=-或x=3.方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-.综上所述,a的取值范围是∪(1,+∞).10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.【解析】因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,m=±2,所以m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去).所以2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.-10-\n(20分钟 40分)1.(5分)(2022·长沙模拟)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是( )A.B.(1,2)C.D.(2,3)【解析】选C.由图象可知故f(x)=x2+ax-a-1,a∈(-2,-1),所以函数g(x)=lnx+f′(x)的零点为函数y=lnx与函数y=-f′(x)=-2x-a交点的横坐标,分析两函数图象得函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是.2.(5分)(2022·石家庄模拟)设函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是( )A.B.C.D.【解析】选D.函数f(x)=的图象如图,不妨设x1<x2<x3,则x2,x3关于直线x=3对称,故x2+x3=6,且x1满足-<x1<0,则x1+x2+x3的取值范围是-+6<x1+x2+x3<0+6,即x1+x2+x3∈.-10-\n3.(5分)(2022·成都模拟)已知f(x)=-2|2|x|-1|+1和g(x)=x2-2|x|+m(m∈R)是定义在R上的两个函数,则下列命题:①函数f(x)的图象关于直线x=0对称;②关于x的方程f(x)-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈(0,1);③关于x的方程f(x)=g(x)恰有四个不相等实数根的充要条件是m∈[0,1];④若∃x1∈[-1,1],∃x2∈[-1,1],f(x1)<g(x2)成立,则m∈(-1,+∞).其中正确的命题有 (写出所有正确命题的序号).【解析】因为f(x)=-2|2|x|-1|+1为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=0对称,故①正确;作出f(x)=-2|2|x|-1|+1的图象,如图所示,可知,关于x的方程f(x)-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件为k∈(-1,1),故②错误;在同一坐标系中作出f(x)=-2|2|x|-1|+1和y=x2-2|x|的图象,由图象可知当m∈时方程f(x)=g(x)恰有四个不相等实数根,故③错;由题可知,只需当x∈[-1,1]时,f(x)min<g(x)max即可.易得f(x)min=-1,g(x)max=m,所以m∈(-1,+∞),所以④正确.答案:①④【加固训练】(2022·南充模拟)已知函数f(x)=其中m>0,且函数f(x)满足f(x+4)=f(x).若方程3f(x)-x=0恰有5个根,则实数m的取值范围是 .【解题提示】根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈(-1,1],[3,5],[7,9]上时,f(x)的图象为半个椭圆.根据图象推断要使方程恰有5个实数解,则需直线y=与第二个半椭圆相交,而与第三个半椭圆无公共点.把直线分别代入椭圆方程,根据Δ可求得m的范围.【解析】因为当x∈(-1,1]时,将函数化为方程x2+=1(y≥0),所以实质上为一个半椭圆,-10-\n同时在坐标系中作出当x∈(1,3]时的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象,如图,由图易知直线y=与第二个半椭圆(x-4)2+=1(y≥0)相交,而与第三个半椭圆(x-8)2+=1(y≥0)无公共点时,方程恰有5个实数根,将y=代入(x-4)2+=1(y≥0)得,(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,令t=9m2(t>0),则(t+1)x2-8tx+15t=0,由Δ=(-8t)2-4×15t(t+1)>0,得t>15,由9m2>15,且m>0得m>,同样由y=与第三个半椭圆(x-8)2+=1(y≥0)联立所得方程Δ<0可计算得m<,综上可知m∈.答案:4.(12分)(2022·郑州模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式.(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.【解析】(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞).因为y=f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,所以f(x)=(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;-10-\n当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示),根据图象,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,则a的取值范围是(-1,1).5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).(1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解析】(1)因为x>0时g(x)=x+≥=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需m≥2e,则y=g(x)-m就有零点.所以m的取值范围是[2e,+∞).-10-\n【一题多解】本题(1)还可以采用如下解法:作出g(x)=x+(x>0)的大致图象如图:可知若使y=g(x)-m有零点,则只需m≥2e.所以m的取值范围是[2e,+∞).(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x>0)的大致图象.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,所以其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).-10-
