【高考领航】2022高考数学总复习8-2直线的交点坐标与距离公式练习苏教版【A组】一、填空题1．若三条直线x－2y＋3＝0,3x＋4y－21＝0,2x＋3y－k＝0交于一点，则k的值为________．解析：由得交点P(3,3)，代入2x＋3y－k＝0得k＝15.答案：152．(2022·高考辽宁卷)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．解析：由题意可知P(4,8)，Q(－2,2)，则在P点切线斜率为4，切线方程为y－8＝4(x－4)①在Q点切线斜率为－2，切线方程为y－2＝－2(x＋2)②由①②可知yA＝－4.答案：－43．(2022·高考北京卷)已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为________．解析：设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2，由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝，由点到直线的距离公式得＝，即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．答案：44．(2022·南通模拟)平面直角坐标系中，与点A(1,1)的距离为1，且与点B(－2，－3)的距离为6的直线条数为________．解析：∵|AB|＝5，∴以A为圆心，半径为1的圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与以B为圆心，半径为6的圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝36内切．5\n∴与A距离为1，与B距离为6的直线只有过两圆公共切点并与两圆都相切的一条直线．答案：15．经过两条直线2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交点，且与直线x－3y－1＝0平行的直线一般式方程为________．解析：两条直线2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交点为(－3，－1)，所以与直线x－3y－1＝0平行的直线为y＋1＝(x＋3)，即x－3y＝0.答案：x－3y＝06．已知曲线f(x)＝xsinx＋1在点(，1)处的切线与直线ax－y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________.解析：f′(x)＝sinx＋xcosx，∴f′()＝1.∴a＝－1.答案：－17．(2022·扬州模拟)点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为________．解析：当点P为直线y＝x＋2平移到与曲线y＝x2－lnx相切的切点时，点P到直线y＝x＋2的距离最小．设点P(x0，y0)，f(x)＝x2－lnx，则f′(x0)＝1.∵f′(x)＝2x－，∴2x0－＝1.又x0>0，∴x0＝1.∴点P的坐标为(1,1)，此时点P到直线y＝x＋2的距离为＝.答案：二、解答题8．两互相平行的直线分别过A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行线间的距离为d.(1)求d的变化范围；(2)求当d取得最大值时的两条直线方程．解：(1)画草图可知，当两平行线均与线段AB垂直，距离d＝|AB|＝3最大，当两平行线重合，即都过A，B点时距离d＝0最小，但平行线不能重合．∴0<d≤3.(2)因为d＝3时，k＝－3，故两直线的方程分别为5\n3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.9．(2022·南通期末)已知点P(2，－1)(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件．此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知，得＝2，解得k＝.此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，所以kl＝－＝2.由直线方程的点斜式得y＋l＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝.(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．【B组】一、填空题1．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：∵＝≠，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2.答案：22．(2022·常州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．解析：由题意得，点到直线的距离为＝.5\n又≤3，即|15－3a|≤15，解之得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．答案：[0,10]3．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为________．解析：d＝＝＝.答案：4．(2022·江苏南通高三第一次调研)直线ax＋2y＋6＝0与直线x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a＝________.答案：－15．P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为、________．解析：设P(a,5－3a)，则d＝＝＝.∴|2a－3|＝1.∴a＝2或a＝1.∴P点坐标为(2，－1)或(1,2)．答案：(2，－1)或(1,2)6．直线2x－y－4＝0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3,4)的距离之差最大，则P点的坐标是________．解析：易知A(4，－1)，B(3,4)在直线l：2x－y－4＝0的两侧．作A关于直线l的对称点A1(0,1)，当A1，B，P共线时距离之差最大．答案：(5,6)7．设直线l经过点A(－1,1)，则当点B(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为________．解析：设B(2，－1)到直线l的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l垂直于直线AB，kl＝－＝，∴直线l的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.答案：3x－2y＋5＝0二、解答题8．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b5\n的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即＝1－a.又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l1，l2到y轴的截距互为相反数，即＝b.故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.9．求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的方程．解：解法一：由得直线a与直线l的交点P(3，－2)．在直线a：2x＋y－4＝0上找一点A(2,0)．设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x0，y0)，则解得B.由两点式，得直线b的方程为＝，即2x＋11y＋16＝0.5
