课时提升作业(十五)任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列说法中,正确的是( )A.小于的角是锐角B.第一象限的角不可能是负角C.终边相同的两个角的差是360°的整数倍D.若α是第一象限角,则2α是第二象限角【解析】选C.锐角的范围是(0,),小于的角还有0角和负角,它们都不是锐角,所以A不正确;-300°角的终边就落在第一象限,所以B不正确;与角α终边相同的角都可以写成α+k·360°(k∈Z)的形式,其差显然是360°的整数倍,所以C正确;若α是第一象限的角,则k·360°<α<k·360°+90°,所以2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z),所以2α是第一象限或第二象限或终边在y轴非负半轴上的角,所以D不正确.【误区警示】本题易因角的范围与象限角的概念不清而致误.锐角、小于的角是从范围而言的,而象限角是从终边的位置来说的,它们的概念不同,应对其正确区分,否则极易出错.2.已知角α的终边落在y轴上,则下列说法正确的是( )A.α=90°+k·360°,k∈Z B.α=90°+k·270°,k∈ZC.sinα=1D.cosα=0【解析】选D.终边落在y轴上的角α可表示为α=90°+k·180°,k∈Z,故A,B不正确;当α的终边落在y轴的正半轴上时,sinα=1,cosα=0,当α的终边落在y轴的负半轴上时,sinα=-1,cosα=0,故C不正确,D正确.3.在半径为4的圆中,150°的圆心角所对的弧长为( )A.6 B.600 C.π D.π【解析】选D.150°的弧度数是×150=π,弧长l=4×π=π.4.(2022·成都模拟)若α为第二象限角,则+的值是 ( )A.0B.2C.-2D.不存在-5-\n【解析】选A.α为第二象限角,则sinα>0,=1,tanα<0,=-1,所以+=0.5.若点P(sinθcosθ,cosθ)位于第二象限,则角θ所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题提示】根据三角函数值的符号判断角θ所在的象限.【解析】选D.由题意,得所以sinθ<0,cosθ>0,故θ是第四象限的角.6.(2022·汉中模拟)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是( )A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]【解析】选A.由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边落在第二象限内或y轴的非负半轴上,所以有即-2<a≤3.即a的取值范围为-2<a≤3.7.若角α的终边在直线y=-x上,则角α的取值集合为( )A.{α|α=k·360°-45°,k∈Z}B.{α|α=k·2π+π,k∈Z}C.{α|α=k·180°+π,k∈Z}D.{α|α=k·π-,k∈Z}【解析】选D.角α的取值集合为{α|α=2nπ+π,n∈Z}∪{α|α=2nπ-,n∈Z}={α|α=(2n+1)π-,n∈Z}∪{α|α=2nπ-,n∈Z}={α|α=kπ-,k∈Z},故选D.【误区警示】解答本题易误选C.出错的原因是忽视了角度数与弧度数是不同的单位,不能加减.-5-\n二、填空题(每小题5分,共15分)8.-300°角的弧度数是 .【解析】-300°角的弧度数是-300×=-π.答案:-π9.(2022·大连模拟)点P是始边与x轴的正半轴重合,顶点在原点的角θ的终边上的一点,若|OP|=2,θ=60°,则点P的坐标是 .【解析】设P(x,y),由三角函数的定义,得sin60°=,cos60°=,所以x=2cos60°=1,y=2sin60°=,故点P的坐标为(1,).答案:(1,)10.已知角α的终边经过点(1,-1),始边与x轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,则角α的取值集合为 .【解题提示】先由角α的终边经过点(1,-1)在[0,2π)或(-2π,0]内确定一个角,再加上2kπ(k∈Z).【解析】如图,由图易知,在[0,2π)内,α=π,所以角α的取值集合为{α|α=π+2kπ,k∈Z}.答案:{α|α=π+2kπ,k∈Z}【一题多解】你还知道本题的其他解法吗?本题还可进行如下解答:由图易知,在[-2π,0)内,α=-,所以角α的取值集合还可表示为{α|α=-+2kπ,k∈Z}.答案:{α|α=-+2kπ,k∈Z}(20分钟 40分)1.(5分)(2022·龙岩模拟)下列各选项中正确的是( )A.sin300°>0 B.cos(-305°)<0C.tan>0D.sin10<0【解析】选D.300°=360°-60°,则300°是第四象限角;-305°=-360°+55°,则-305°-5-\n是第一象限角;因为-π=-8π+π,所以-π是第二象限角;因为3π<10<π,所以10是第三象限角.故sin300°<0,cos(-305°)>0,tan<0,sin10<0,选D.2.(5分)圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为 ( )A. B. C.3 D.【解析】选D.设圆半径为R,则其内接正三角形的边长为R,于是圆心角的弧度数为=.3.(5分)(2022·铜陵模拟)已知α=-2015°,则与角α终边相同的最小正角为 ,最大负角为 .【解题提示】写出与α终边相同的角的集合,确定最小正角和最大负角.【解析】α可以写成-6×360°+145°的形式,则与α终边相同的角可以写成k·360°+145°(k∈Z)的形式.当k=0时,可得与角α终边相同的最小正角为145°,当k=-1时,可得最大负角为-215°.答案:145° -215°4.(12分)角α的终边上的点P与A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求的值.【解析】由题意得P(a,-b),Q(b,a),所以sinα=,cosα=,tanα=,sinβ=,cosβ=,tanβ=,所以【加固训练】已知角α终边经过点P(x,-)(x≠0),且cosα=x.求sinα+的值.-5-\n【解析】因为P(x,-)(x≠0),所以点P到原点的距离r=,又cosα=x,所以cosα=因为x≠0,所以x=±,所以r=.当x=时,P点坐标为(,-),由三角函数的定义,有sinα=所以sinα+当x=-时,同理可求得sinα+5.(13分)(能力挑战题)如图所示,动点P,Q从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.【解析】设P,Q第一次相遇时所用的时间是t,则t·+t·|-|=2π.所以t=4(秒),即第一次相遇的时间为4秒.设第一次相遇点为C,第一次相遇时P点已运动到终边在·4=的位置,则xC=-cos·4=-2,yC=-sin·4=-.所以C点的坐标为(-2,-).P点走过的弧长为Q点走过的弧长为-5-
