基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列函数不是复合函数的是( )A．y＝－x3－＋1 B．y＝cosC．y＝D．y＝(2x＋3)4A [A不是复合函数，B、C、D均是复合函数，其中B是由y＝cosu，u＝x＋复合而成；C是由y＝，u＝lnx复合而成；D是由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．]2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )A．ln(2x＋5)－B．ln(2x＋5)＋C．2xln(2x＋5)D．B [∵y＝xln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋.]3．函数y＝(ex＋e－x)的导数是( )A．(ex－e－x)B．(ex＋e－x)C．ex－e－xD．ex＋e－xA [y′＝(ex＋e－x)′＝(ex－e－x)．]4．当函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于( )A．aB．±aC．－aD．a2B [y′＝＝＝，5
由x－a2＝0得x0＝±a.]5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )A．1B．2C．－1D．－2B [设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.]二、填空题6．f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________．2 [∵f(x)＝(ax2－1)，∴f′(x)＝(ax2－1)(ax2－1)′＝.又f′(1)＝2，∴＝2，∴a＝2.]7．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．(e，e) [设P(x0，y0)．∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·＝1＋lnx.∴k＝1＋lnx0.又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e.∴y0＝elne＝e.∴点P的坐标是(e，e)．]8．点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________． [与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝＝.]三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y＝ln(ex＋x2)；(2)y＝102x＋3；(3)y＝sin4x＋cos4x.5
[解] (1)令u＝ex＋x2，则y＝lnu.∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln10.(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x＝1－sin22x＝1－(1－cos4x)＝＋cos4x.∴y′＝－sin4x.10．设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切，求a，b的值．[解] 由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得＋a＝，故a＝0.1．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )A．B．C．D．1A [依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x5
轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝.]2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A． B． C． D．D [因为y＝，所以y′＝＝＝.因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tanα∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈.]3．函数y＝ln在x＝0处的导数为________． [y＝ln＝lnex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，则y′＝1－.当x＝0时，y′＝1－＝.]4．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．y＝－2x－1 [设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝lnx－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝lnx－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.]5．(1)已知f(x)＝eπxsinπx，求f′(x)及f′；(2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．[解] (1)∵f(x)＝eπxsinπx，∴f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcosπx＝πeπx(sinπx＋cosπx)．∴f′＝πe＝πe.5
(2)设切点的坐标为P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝0.又y′＝，∴y′|＝＝0.解得x0＝0，此时y0＝1.即该点的坐标为(0,1)，切线方程为y－1＝0.5
