函数的最大(小)值与导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( )A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)D．f(b)－g(a)A [令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)，又f′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0，∴F(x)在[a，b]上单调递减，∴F(x)max≤F(a)＝f(a)－g(a)．]2．函数y＝的最大值为( )A．e－1B．eC．e2D．A [令y′＝＝＝0(x＞0)，解得x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0.y极大值＝f(e)＝，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，所以ymax＝.]3．函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为( )A．4e－1B．1C．e2D．3e2C [∵f′(x)＝(x2＋2x)ex＋1＝x(x＋2)ex＋1，∴f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.又当x∈[－2,1]时，ex＋1＞0，∴当－2＜x＜0时，f′(x)＜0；当0＜x＜1时f′(x)＞0.∴f(x)在(－2,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增．又f(－2)＝4e－1，f(1)＝e2，∴f(x)的最大值为e2.]4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则6
M－m的值为( )A．16B．12C．32D．6C [∵f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，可知M－m＝24－(－8)＝32.]5．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )A．0≤a<1B．0<a<1C．－1<a<1D．0<a<B [∵f′(x)＝3x2－3a，则f′(x)＝0有解，可得a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.故选B.]二、填空题6．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．－71 [f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.则f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.]7．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．(－∞，2ln2－2] [函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．]8．已知函数f(x)＝＋2lnx，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__________．[e，＋∞) [由f(x)＝＋2lnx得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0<x<时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝lna＋1.要使f(x)≥2恒成立，需lna＋1≥2恒成立，则a≥e.]6
三、解答题9．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．[解] 易知f(x)的定义域为.(1)f′(x)＝＋2x＝＝.当－<x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<－时，f′(x)<0；当x>－时，f′(x)>0，从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减．(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f＝ln2＋.又因为f－f＝ln＋－ln－＝ln＋＝<0，所以f(x)在区间上的最大值为f＝＋ln.10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)≥2019对于∀x∈[－2,2]恒成立，求a的取值范围．[解] (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.由f′(x)<0，得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.6
因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a.要使f(x)≥2019对于∀x∈[－2,2]恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2019，解得a≥2024.1．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )A．－13B．－15C．10D．15A [对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9，故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.]2．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )A．(－1，)B．(－1,4)C．(－1,2]D．(－1,2)C [由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－2↗2↘由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜.又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.综上，－1＜a≤2.]3．已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1,1]都成立，则实数a的取值范围是________．(－∞，1] [设f(x)＝4x3＋4x2＋1，则f′(x)＝12x2＋8x＝4x(3x＋2)，6
由f′(x)＝0得x＝－或x＝0.又f(－1)＝1，f＝，f(0)＝1，f(1)＝9，故f(x)在[－1,1]上的最小值为1.故a≤1.]4．已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若∃x0∈[－1,4]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是________． [∵f(x0)＝2a，即x－x＋6x0＋a＝2a，可化为x－x＋6x0＝a，设g(x)＝x3－x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2.∴g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4)＝16.由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，∴－≤a≤16.]5．已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.令x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘－ek－1↗所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，6
函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.6
