函数的单调性与导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数C [由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.]2．函数y＝x＋xlnx的单调递减区间是( )A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞)D．(e2，＋∞)B [因为y＝x＋xlnx，所以定义域为(0，＋∞)．令y′＝2＋lnx<0，解得0<x<e－2，即函数y＝x＋xlnx的单调递减区间是(0，e－2)，故选B.]3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－)∪[，＋∞)B．[－，]C．(－∞，－)∪(，＋∞)D．(－，)B [f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－≤a≤.]4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A．y＝sinxB．y＝xe2C．y＝x3－xD．y＝lnx－xB [显然y＝sinx在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；6
对于C，y′＝3x2－1＝3，故函数在，上为增函数，在上为减函数；对于D，y′＝－1(x＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0,1)上为增函数，故选B.]5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )A B C DD [对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)＜0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)＞0.因此，选项A可能正确．同理，选项B、C也可能正确．对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．因此，选项D不可能正确．]二、填空题6．函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调递增区间为__________. [令f′(x)＝1－2cosx>0，则cosx<，又x∈(0，π)，解得<x<π，所以函数的单调递增区间为.]7．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．(1,2) [f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.]8．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．6
[f′(x)＝，由题意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a≤，但当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是.]三、解答题9．已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间．[解] f′(x)＝(ax＋2a＋1)xex.(1)若a＝1，则f′(x)＝(x＋3)xex，f(x)＝(x2＋x－1)ex，所以f′(1)＝4e，f(1)＝e.所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.(2)若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)xex.令f′(x)＝0解x1＝－1，x2＝0.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；当x∈(－1,0)时，f′(x)＞0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0；所以f(x)的增区间为(－1,0)，减区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6lnx＋h(x)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间(1，m＋)上是单调函数，求实数m的取值范围．[解] (1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，∴解得∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，∴f(x)＝6lnx＋x2－8x＋2.6
(2)∵f′(x)＝＋2x－8＝(x＞0)．∴当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗↘↗∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(1,3)．要使函数f(x)在区间上是单调函数，则解得＜m≤.即实数m的取值范围为.1．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为( )A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)B [构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．∴f(x)>2x＋4⇔g(x)>0⇔g(x)>g(－1)，∴x>－1.]2．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有( )A．f(x)g(x)>f(b)g(b)B．f(x)g(a)>f(a)g(x)C．f(x)g(b)>f(b)g(x)D．f(x)g(x)>f(a)g(a)C [因为′＝.又因为f′(x)g(x6
)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a<x<b，所以>>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．因此选C.]3．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．(0，＋∞) [若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.]4．若函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________． [显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.由f′(x)＞0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)＜0，得函数f(x)单调递减区间为.因为函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1＜＜k＋1，解得－＜k＜，又因为(k－1，k＋1)为定义域内的一个子区间，所以k－1≥0，即k≥1.综上可知，1≤k＜.]5．(1)已知函数f(x)＝axekx－1，g(x)＝lnx＋kx.当a＝1时，若f(x)在(1，＋∞)上为减函数，g(x)在(0,1)上为增函数，求实数k的值；(2)已知函数f(x)＝x＋－2lnx，a∈R，讨论函数f(x)的单调区间．[解] (1)当a＝1时，f(x)＝xekx－1，∴f′(x)＝(kx＋1)ekx，g′(x)＝＋k.∵f(x)在(1，＋∞)上为减函数，则∀x＞1，f′(x)≤0⇔k≤－，∴k≤－1.∵g(x)在(0,1)上为增函数，则∀x∈(0,1)，g′(x)≥0⇔k≥－，∴k≥－1.综上所述，k＝－1.6
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1－－＝.①当Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1时，得x2－2x－a≥0，则f′(x)≥0.∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1时，令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，解得x1＝1－，x2＝1＋＞0.(ⅰ)若－1＜a≤0，则x1＝1－≥0，∵x∈(0，＋∞)，∴f(x)在(0,1－)，(1＋，＋∞)上单调递增，在(1－，1＋)上单调递减．(ⅱ)若a＞0，则x1＜0，当x∈(0,1＋)时，f′(x)＜0，当x∈(1＋，＋∞)时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在区间(0,1＋)上单调递减，在区间(1＋，＋∞)上单调递增.6
