基本初等函数的导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列结论正确的是( )A．若y＝cosx，则y′＝sinxB．若y＝sinx，则y′＝－cosxC．若y＝，则y′＝－D．若y＝，则y′＝C [∵(cosx)′＝－sinx，∴A不正确；∵(sinx)′＝cosx，∴B不正确；∵()′＝，∴D不正确．]2．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )A．(1，1) B．(－1，－1)C．(－1，1)D．(1，1)或(－1，－1)D [切线的斜率k＝tanπ＝－1，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1)．故选D．]3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于( )A．B．10C．10ln10D．C [∵f′(x)＝10xln10，∴f′(1)＝10ln10．]4．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝( )A．4 B．－4 C．28 D．－28C [∵y′＝3x2，4
∴点(2，8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12．∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28．]5．若f(x)＝sinx，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是( )A．B．C．πD．πA [∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝cosx．又∵f′(α)＝cosα＝，∴α＝2kπ±(k∈Z)．当k＝0时，α＝．]二、填空题6．若f(x)＝，且f′(α)＝，则α＝________．4 [因为f′(x)＝，所以f′(α)＝＝，解得α＝4．]7．已知函数y＝f(x)的图像在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________．3 [依题意知，f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3．]8．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________．ln2－1 [设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝lnx0．∵y′＝(lnx)′＝，由题意知＝，∴x0＝2，y0＝ln2．由ln2＝×2＋b，得b＝ln2－1．]三、解答题9．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8s时的瞬时速度．[解] ∵s′＝()′＝(t)′＝t，4
∴s′|t＝8＝×8＝×2－1＝，∴质点P在t＝8s时的瞬时速度为m/s．10．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点．(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[解] (1)因为y′＝2x．P(－1，1)，Q(2，4)都是曲线y＝x2上的点．过P点的切线的斜率k1＝－2，过Q点的切线的斜率k2＝4，过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0．过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0．(2)直线PQ的斜率k＝＝1，设切点为(x0，x)，因为y′＝2x，所以切线的斜率k＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点M，与PQ平行的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0．1．已知函数f(x)＝lnx的图像在(a，f(a))处的切线斜率为k(a)，则“a>2”是“k(a)<”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件A [因为f(x)＝lnx，所以f′(x)＝(x>0)，k(a)＝(a>0)，若k(a)<，则<，解得a>2，故“a>2”是“k(a)<”的充要条件，故选A．]2．(多选题)下列曲线的切线中，不存在互相垂直的切线的曲线是( )A．f(x)＝exB．f(x)＝x3C．f(x)＝lnxD．f(x)＝sinx4
ABC [若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0．A中，f′(x)＝ex>0，B中f′(x)＝3x2≥0，C中f′(x)＝>0，故ABC中均不存在互相垂直的切线方程．而D中f′(x)＝cosx，其可正可负，一定存在使cosx1·cosx2＝－1的情形，故选ABC．]3．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________．64 [因为y′＝－x，所以曲线y＝x在点(a，a)处的切线方程为：y－a＝－a(x－a)，令x＝0得y＝a，令y＝0得x＝3a，所以×a×3a＝18，解得a＝64．]4．曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线方程为_________，其与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn＝______．y＝(n＋1)x－n [∵y′＝(n＋1)xn，∴y′|x＝1＝n＋1．∴曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，即y＝(n＋1)x－n．令y＝0得x＝，∴xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…×＝．]点P是f(x)＝x2上任意一点，求点P到直线y＝x－1的最短距离．[解] 与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，∴x0＝，y0＝．即P到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝＝．4
