【三维设计】2022届高考数学一轮复习热点难点突破不拉分系列（九）由题定法，解开数列中探索性问题的神秘面纱新人教版探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求考生自己去探索，结合已知条件，进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力，而且给考生提供了创新思维的空间，所以备受高考的青睐，是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．[典例] 已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n∈N*. (1)求证：数列为等比数列；(2)记Sn＝＋＋…＋，若Sn<100，求最大正整数n；(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am－1，as－1，an－1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．[解] (1)证明：因为＝＋，所以－1＝－.又因为－1≠0，所以－1≠0(n∈N*)，所以数列为等比数列．(2)由(1)，可得－1＝×n－1，3\n所以＝2×n＋1.Sn＝＋＋…＋＝n＋2＝n＋2×＝n＋1－，若Sn<100，则n＋1－<100，所以最大正整数n的值为99.(3)假设存在，则m＋n＝2s，(am－1)(an－1)＝(as－1)2，因为an＝，所以＝2.化简，得3m＋3n＝2·3s.因为3m＋3n≥2·＝2·3s，当且仅当m＝n时等号成立．又m，s，n互不相等，所以3m＋3n＝2·3s不成立，所以不存在满足条件的m，n，s.[题后悟道] 本题属于存在探索性问题，处理这种问题的一般方法是：假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．解决数列探索性问题基本方法：(1)对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知条件入手，执果索因，导出所需的条件．(2)对于结论探索性问题，需要先得出一个结论，再进行证明．注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定变量的值．数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法．(3)处理规律探索性问题，应充分利用已知条件，先求出数列的前几项，根据前几项的特点透彻分析，发现规律、猜想结论．针对训练已知数列{an}中，a1＝1，且点P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Sn表示数列{bn}的前n项和，试问：是否存在关于n的关系式g(n)，使得S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝(Sn－1)·g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．3\n解：(1)由点P(an，an＋1)在直线x－y＋1＝0上，即an＋1－an＝1，且a1＝1，即数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．则an＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N*)．(2)假设存在满足条件的g(n)，由bn＝，可得Sn＝1＋＋＋…＋，Sn－Sn－1＝(n≥2)，nSn－(n－1)Sn－1＝Sn－1＋1，(n－1)Sn－1－(n－2)Sn－2＝Sn－2＋1，…2S2－S1＝S1＋1.以上(n－1)个等式等号两端分别相加得nSn－S1＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＋n－1，即S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝nSn－n＝n(Sn－1)，n≥2.令g(n)＝n，故存在关于n的关系式g(n)＝n，使得S1＋S2＋S3＋…＋Sn－1＝(Sn－1)·g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立．3
