第六章第四节基本不等式一、选择题1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为( )A．2 B．4C．12D．62．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )A.B．4C.D．53．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是( )A．(－∞，－1]B．[3，＋∞)C．[－1,3]D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)4．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则的( )A．最小值为8B．最大值为8C．最小值为D．最大值为5．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2<m<4D．－4<m<26．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于( )A．0B．4C．－4D．－2二、填空题7．设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋)(＋4y2)·的最小值为________．8．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数ƒ(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是____．9．已知二次函数f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，-5-\n则＋的最小值为________．三、解答题10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．11．已知a，b>0，求证：＋≥.12．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2022年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2022年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2022年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．(2)该企业2022年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)详解答案一、选择题1．解析：由a⊥b得a·b＝0，即(x－1,2)·(4，y)＝0.-5-\n∴2x＋y＝2.则9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝2＝6.当且仅当32x＝3y即x＝，y＝1时取得等号．答案：D2．解析：依题意得＋＝(＋)(a＋b)＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是.答案：C3．解析：y＝log2x＋logx(2x)＝1＋(log2x＋logx2)．如果x>1，则log2x＋logx2≥2，如果0<x<1，则log2x＋logx2≤－2，∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：D4．解析：＝＝＝≤.当且仅当＝，x＝2z时取等号．答案：D5．解析：∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即4y2＝x2，x＝2y时取等号，又＋＝1，此时x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.答案：D6．解析：由＋＋≥0得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.答案：C-5-\n二、填空题7．解析：(x2＋)(＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2＝9，当且仅当4x2y2＝时等号成立，则|xy|＝时等号成立．答案：98．解析：由题意知：P、Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，则m＞0，n＞0，n＝，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4(m2＋)≥16(当且仅当m2＝，即m＝时，取等号)，故线段PQ长的最小值是4.答案：49．解析：由值域可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有＝0，从而c＝>0，∴＋＝(＋8a)＋(＋4a2)≥2×4＋2＝10，当且仅当，即a＝时取等号．故所求的最小值为10.答案：10三、解答题10．解：(1)∵x>0，y>0，∴xy＝2x＋8y≥2即xy≥8，∴≥8，即xy≥64.当且仅当2x＝8y即x＝16，y＝4时，“＝”成立．∴xy的最小值为64.(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，∴2x＋8y＝xy，即＋＝1.∴x＋y＝(x＋y)·(＋)＝10＋＋≥10＋2＝18当且仅当＝，即x＝2y＝12时“＝”成立．-5-\n∴x＋y的最小值为18.11．证明：∵＋≥2＝2>0，a＋b≥2>0，∴(＋)(a＋b)≥2·2＝4.∴＋≥.当且仅当，取等号．即a＝b时，不等式等号成立．12．解：(1)由题意可设3－x＝，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.当年生产x万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x＋3＝32(3－)＋3.当销售x(万件)时，年销售收入为150%[32(3－)＋3]＋t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y＝(t≥0)．(2)y＝＝50－(＋)≤50－2＝50－2＝42(万元)，当且仅当＝，即t＝7时，ymax＝42，∴当促销费定在7万元时，年利润最大．-5-
