第五章第四节数列求和一、选择题1．等比数列{an}首项与公比分别是复数i＋2(i是虚数单位)的实部与虚部，则数列{an}的前10项的和为( )A．20 B．210－1C．－20D．－2i2．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为( )A．11B．99C．120D．1213．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( )A．0B．100C．－100D．102004．已知函数f(x)＝x2＋bx的图像在点A(1，f(1))处的切线的斜率为3，数列{}的前n项和为Sn，则S2010的值为( )A.B.C.D.5．数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于( )A．(2n－1)2B.(2n－1)C.(4n－1)D．4n－16．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，若称使乘积a1·a2·a3·…·an为整数的数n为劣数，则在区间(1,2002)内所有的劣数的和为( )A．2026B．2046C．1024D．1022二、填空题7．若＝110(x∈N*)，则x＝________.8．数列1,1＋2,1＋2＋22,1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋23＋…＋2n－1，…的前n5\n项和为________．9．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.三、解答题10．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和．11．已知数列{2n－1·an}的前n项和Sn＝9－6n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝n·(3－log2)，设数列{}的前n项和为Tn，求使Tn＜恒成立的m的最小整数值．12．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an－n(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.详解答案一、选择题1．解析：该等比数列的首项是2，公比是1，故其前10项之和是20.5\n答案：A2．解析：an＝＝－，∴Sn＝－1＋－＋－＋…＋－＋…＋－＝－1＝10，解得n＝120.答案：C3．解析：由题意，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.答案：B4．解析：∵f′(x)＝2x＋b，∴f′(1)＝2＋b＝3，∴b＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴＝＝－，∴S2010＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.答案：D5．解析：∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，∴a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1，∴an＝2n－2n－1＝2n－1，∴a＝4n－1，∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．答案：C6．解析：设a1·a2·a3·…·an＝··…·＝＝log2(n＋2)＝k，则n＝2k－2(k∈Z)．令1＜2k－2＜2002，得k＝2,3,4，…，10.∴所有劣数的和为－18＝211－22＝2026.答案：A二、填空题7．解析：原等式左边＝＝＝x2＋x＝110，又x∈N*，所以x＝10.5\n答案：108．解析：由题意得an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.答案：2n＋1－n－29．解析：∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n，∴Sn＝＝2n＋1－2.答案：2n＋1－2.三、解答题10．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列{}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋＋…＋，故S1＝1，＝＋＋…＋，所以，当n＞1时，＝a1＋＋…＋－＝1－(＋＋…＋)－＝1－(1－)－＝.所以Sn＝.综上，数列{}的前n项和Sn＝.11．解：(1)n＝1时，20·a1＝S1＝3，∴a1＝3；当n≥2时，2n－1·an＝Sn－Sn－1＝－6，∴an＝.5\n∴通项公式an＝.(2)当n＝1时，b1＝3－log21＝3，∴T1＝＝；当n≥2时，bn＝n·(3－log2)＝n·(n＋1)，∴＝∴Tn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝－＜，故使Tn＜恒成立的m的最小整数值为5.12．解：(1)令n＝1，得a1＝2a1－1，由此得a1＝1.由于Sn＝2an－n，所以Sn＋1＝2an＋1－(n＋1)，两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－(n＋1)－2an＋n，即an＋1＝2an＋1.所以an＋1＋1＝2an＋1＋1＝2(an＋1)，即＝2，故数列{an＋1}是等比数列，其首项为a1＋1＝2，故数列{an＋1}的通项公式是an＋1＝2·2n－1＝2n，故数列{an}的通项公式是an＝2n－1.(2)由(1)得，bn＝＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－.5
