第六章第二节一元二次不等式及其解法一、选择题1．设集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝( )A．{x|1≤x<3} B．{x|1≤x≤3}C．{x|3<x≤4}D．{x|3≤x≤4}2．不等式≤x－2的解集是( )A．(－∞，0]∪(2,4]B．[0,2)∪[4，＋∞)C．[2,4)D．(－∞，2]∪(4，＋∞)3．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解为( )A．(－，1)B．(－∞，1)∪(，＋∞)C．(－1,4)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)4．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是( )A．(－，)B．(－，)C．(－1,1)D．(0,2)5．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是( )A．[1,19]B．(1,19)C．[1,19)D．(1,19]6．设f(x)＝x2＋bx－3，且f(－2)＝f(0)，则f(x)≤0的解集为( )A．(－3,1)B．[－3,1]C．[－3，－1]D．(－3，－1]二、填空题7．已知函数y＝(m－1)x2－mx－m的图象如图，则m的取值范围是________．-5-\n8．已知函数f(x)＝，若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．三、解答题10．解下列不等式：(1)－x2＋2x－＞0；(2)8x－1≤16x2.11．当0≤x≤2时，不等式(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2恒成立，试求t的取值范围．12．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N*)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中.(1)求n的值；(2)要使刹车距离不超过12.6m，则行驶的最大速度是多少？详解答案-5-\n一、选择题1．解析：由x2－2x－3<0，得(x－3)(x＋1)<0，即－1<x<3.∴A＝{x|－1<x<3}．又∵B＝{x|1≤x≤4}，∴A∩B＝{x|1≤x<3}．答案：A2．解析：①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，∴x≥4；②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，∴0≤x<2.答案：B3．解析：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)知a<0，－4和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴－4＋1＝－，－4×1＝，即b＝3a，c＝－4a.故所求解的不等式为3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a>0，即3x2＋x－4<0，解得－<x<1.答案：A4．解析：由题意知，(x－y)*(x＋y)＝(x－y)[1－(x＋y)]<1对一切实数x恒成立，∴－x2＋x＋y2－y－1<0对于x∈R恒成立，故Δ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)<0，∴4y2－4y－3<0，解得－<y<.答案：A5．解析：函数图象恒在x轴上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R恒成立．(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意；若a＝1，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a2＋4a－5≠0时，应有，解得1<a<19.综上可知，a的取值范围是1≤a<19.答案：C6．解析：∵f(－2)＝f(0)，∴x＝－＝＝－1，而b＝2.∴f(x)≤0⇒x2＋2x－3≤0⇒(x＋3)(x－1)≤0，∴－3≤x≤1.答案：B-5-\n二、填空题7．解析：由图可知，所以0<m<.答案：8．解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.答案：(－1,3)9．解析：∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图象如图中实线所示．结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，即－2<a<1.答案：(－2,1)三、解答题10．解：(1)两边都乘－3，得3x2－6x＋2＜0，∵3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋，∴原不等式的解集为{x|1－＜x＜1＋}．(2)法一：∵原不等式即为16x2－8x＋1≥0，其相应方程为16x2－8x＋1＝0，Δ＝(－8)2－4×16＝0.∴上述方程有两相等实根x＝.结合二次函数y＝16x2－8x＋1的图象知，原不等式的解集为R.法二：8x－1≤16x2⇔16x2－8x＋1≥0⇔(4x－1)2≥0，∴x∈R，∴原不等式的解集为R.-5-\n11．解：令y＝x2－3x＋2,0≤x≤2.∵y＝x2－3x＋2＝(x－)2－，∴y在0≤x≤2上取得最小值为－，最大值为2.若(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2在0≤x≤2上恒成立，则即∴或.∴t的取值范围为[－1,1－]．12．解：(1)依题意得，解得，又n∈N*，所以n＝6.(2)s＝＋≤12.6⇒v2＋24v－5040≤0⇒－84≤v≤60，因为v≥0，所以0≤v≤60，即行驶的最大速度为60km/h.-5-
