专题强化练5 平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1.(★★☆)已知AB=(5,-3),C(-1,3),CD=2AB,则点D的坐标是( )A.(11,-3)B.(9,-3)C.(9,3)D.(4,0)2.(2020东北三省三校三模,★★☆)如图,在△ABC中,点Q为线段AC上靠近点A的三等分点,点P为线段BQ上靠近点B的三等分点,则PA+PC=( )A.13BA+23BCB.59BA+79BCC.19BA+109BCD.29BA+79BC3.(2021浙江山水联盟高二开学考试,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,点E是边CD的中点,点F是AE的中点,则BF=( )A.34AB+12ADB.-34AB+12ADC.12AB+34ADD.-12AB+34AD4.(2019浙江杭州八校联考,★★☆)若A(-2,3),B(3,-2),C12,m三点共线,则m的值为( )A.2B.-2C.12D.-125.(2020四川绵阳三台高一期中,★★☆)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若DE=λAB+μAD(λ,μ∈R),则λ·μ等于( )5
A.-316B.316C.12D.-126.(★★☆)已知在Rt△ABC中,两直角边AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λμ=( )A.233B.33C.3D.23二、填空题7.(★★☆)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若AB=(2,4),CA=(-1,-3),则DB= . 8.(2021广东珠海一中、惠州一中、石门中学高二开学考试,★★☆)如图,正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若AC=λAM+μBN,则λ+μ= . 三、解答题9.(★★☆)如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.(1)用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF;(2)求证:B,E,F三点共线.10.(★★★)如图,已知△ABC的面积为14,D,E分别为边AB,BC5
上的点,AD∶DB=BE∶EC=2∶1,且AE与CD交于点P,求△APC的面积.答案全解全析一、选择题1.B 设D(x,y),则CD=(x+1,y-3),因为CD=2AB=(10,-6),所以x+1=10,y-3=-6,解得x=9,y=-3,所以点D的坐标为(9,-3).故选B.2.B PA+PC=BA-BP+BC-BP=BA+BC-23·BQ=BA+BC-23(BA+AQ)=13BA+BC-23×13AC=13BA+BC-29(BC-BA)=59BA+79BC.3.B 因为F是AE的中点,所以AF=12AE,因为点E是边CD的中点,所以DE=12DC=12AB,所以BF=AF-AB=12AE-AB=12(AD+DE)-AB=12AD+12AB-AB=-34AB+12AD.4.C ∵A(-2,3),B(3,-2),C12,m,∴AB=(5,-5),AC=52,m-3.∵A,B,C三点共线,∴AB与AC共线,∴5(m-3)=-252,解得m=12.故选C.5.A ∵E为AO的中点,且O为AC的中点,∴AE=12AO=14AC=14(AB+AD),∴DE=AE-AD=14(AB+AD)-AD=14AB-34AD,∴λ=14,μ=-34.因此,λ·μ=14×-34=-316.6.A 如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B5
点坐标为(1,0),C点坐标为(0,2).因为∠DAB=60°,所以设D点坐标为(m,3m),又AD=λAB+μAC=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),则λ=m,μ=32m,则λμ=233,故选A.二、填空题7.答案 (3,5)解析 ∵AB=(2,4),AC=-CA=(1,3),∴DB=DA+AB=CB+AB=(AB-AC)+AB=(3,5).8.答案 85解析 设AB=a,AD=b,则BN=-12a+b,AM=a+12b,AC=a+b,由于AC=λAM+μBN=λa+12b+μ-12a+b=a+b,所以λ-12μ=1,12λ+μ=1,解得λ=65,μ=25,所以λ+μ=85.三、解答题9.解析 (1)如图,延长AD到G,使AG=2AD.连接BG,CG,得到▱ABGC,所以AG=a+b,AD=12AG=12(a+b),AE=23AD=13(a+b),AF=12AC=12b,则BE=AE-AB=13(a+b)-a=13(b-2a),BF=AF-AB=12b-a=12(b-2a).5
(2)证明:由(1)可知BE=23BF,因为BE与BF有公共点B,所以B,E,F三点共线.10.解析 设AB=a,BC=b,则AE=a+23b,DC=13a+b.∵点A,P,E共线且D,P,C共线,∴存在λ和μ,使AP=λAE=λa+23λb,DP=μDC=13μa+μb.又AP=AD+DP=23+13μa+μb,∴λ=23+13μ,23λ=μ,即λ=67,μ=47.连接BP,则S△PAB=47S△ABC=14×47=8,S△PBC=14×1-67=2,∴S△APC=14-8-2=4.5
