平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示[A级 基础巩固]1．(多选)下面几种说法中正确的有( )A．相等向量的坐标相同B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标C．一个坐标对应唯一的一个向量D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应解析：选ABD 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，A、B、D正确．2．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，且A(1，3)，B(2，4)，则x的值为( )A．1 B．1或4C．0D．－4解析：选A 由已知得，＝(2－1，4－3)＝(1，1)，∵a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，∴解得x＝1.故选A.3．若＝(1，1)，＝(0，1)，＋＝(a，b)，则a＋b＝( )A．－1B．0C．1D．2解析：选A ＋＝＝－＝(0，1)－(1，1)＝(－1，0)，故a＝－1，b＝0，a＋b＝－1.4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝，则顶点D的坐标为( )A．(4，5)B．(5，－4)C．(3，2)D．(1，3)解析：选A 设D点坐标为(x，y)，则＝(4，3)，＝(x，y－2)，由＝，得∴∴D(4，5)．5．已知平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线为，，则－＝( )A．(1，10)B．(5，4)5
C．(－4，6)D．(－5，2)解析：选C ∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，10)，＝－＝(5，4)，∴－＝(1，10)－(5，4)＝(－4，6)．6．在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是( )A．(2，2)B．(－2，－2)C．(1，1)D．(－1，－1)解析：选D 因为A(2，2)，B(1，1)，所以＝(－1，－1)．故选D.7．已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且＝，则点C的坐标为________．解析：设C(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，＝(2，1)．由＝，则x＝0，y＝4.∴点C的坐标为(0，4)．答案：(0，4)8．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则＋＝________．解析：法一：由题意得＝(2，3)，＝(－3，3)，所以＋＝(2，3)＋(－3，3)＝(－1，6)．法二：＋＝＝(－1，6)．答案：(－1，6)9.如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．解：由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝，y1＝sin30°＝，∴B.5
x2＝cos120°＝－，y2＝sin120°＝，∴D.∴＝，＝.10．已知a＝，B点坐标为(1，0)，b＝(－9，12)，c＝(－2，2)，且a＝b－c，求点A的坐标．解：∵b＝(－9，12)，c＝(－2，2)，∴b－c＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，即a＝(－7，10)＝.又B(1，0)，设A点坐标为(x，y)，则＝(1－x，0－y)＝(－7，10)，∴⇒即A点坐标为(8，－10)．[B级 综合运用]11．如果将＝，绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是( )A.B.C．(－1，)D.解析：选D 设绕原点O逆时针方向旋转120°得到的的坐标为(x，y)，则x＝||cos(120°＋30°)＝－，y＝||·sin(120°＋30°)＝，由此可知B点坐标为，故的坐标是.故选D.12．(多选)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，关于坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论，正确的结论有( )A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2且y1≠y2C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点不一定是原点D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)5
解析：选AC 由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C正确；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故D错误．13．已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝||，则点P的坐标为________．解析：设P点坐标为(x，y)，||＝||.当P在线段AB上时，＝.∴(x－3，y＋4)＝(－1－x，2－y)，∴解得∴P点坐标为(1，－1)．当P在线段AB延长线上时，＝－.∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x，2－y)，∴此时无解．综上所述，点P的坐标为(1，－1)．答案：(1，－1)14．在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．(1)若＝＋，求点P的坐标；(2)若＋＋＝0，求的坐标．解：(1)因为＝(1，2)，＝(2，1)，所以＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，即点P的坐标为(3，3)．(2)设点P的坐标为(x，y)，因为＋＋＝0，又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，所以解得所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2)．[C级 拓展探究]5
15．已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．解：设D点的坐标为(x，y)，当平行四边形为ABCD时，由＝(1，2)，＝(3－x，4－y)，且＝，得D(2，2)．当平行四边形为ACDB时，由＝(1，2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4，6)．当平行四边形为ACBD时，由＝(5，3)，＝(－1－x，3－y)，且＝，得D(－6，0)，故D点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0)．5
