命题与量词基础过关练题组一 命题及其真假的判断1.下列语句中不是命题的是( ) A.3≥6B.二次函数的图像不一定关于y轴对称C.x>0D.对任意x∈R,总有x2>02.已知下列语句:①一束美丽的花;②x>3;③2是一个偶数;④若x=2,则x2-5x+6=0.其中命题的个数是( )A.1B.2C.3D.43.给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )A.4B.2C.1D.-34.如果命题“若m<3,则q”为真命题,那么该命题的结论q可以是( )A.m<2B.m<4C.m>2D.m>45.给出下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy=0,则|x|+|y|=0;③若a>b,则ac2>bc2;④矩形的对角线互相垂直.其中假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.46.有下列语句:①集合{a,b}有2个子集;②x2-4≤0;③今天天气真好啊;④若A∪B=A∩B,则A=B.其中真命题的序号为 . 题组二 全称量词命题与存在量词命题7.下列命题不是“∃x∈R,x20>3”的表述的是( )A.有一个x∈R,使x20>3B.对有些x∈R,使x20>3C.任选一个x∈R,使x20>3D.至少有一个x∈R,使x20>38.下列说法中正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题;②命题“∀x∈R,x2+2<0”是全称量词命题;9
③命题“∃x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题.A.0B.1C.2D.39.下列命题中,是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是 .(填序号) ①正方形的四条边相等;②有两个角相等的三角形是等腰三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.10.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为 . 题组三 全称量词命题与存在量词命题的真假11.(2020江苏南京外国语学校高一上月考)下列命题为真命题的是( )A.∃x∈Z,1<4x<3B.∃x∈Z,15x+1=0C.∀x∈R,x2-1=0D.∀x∈R,x2+x+2>012.下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是( )A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0B.菱形的两条对角线相等C.∃x∈R,x2=xD.一次函数的图像是一条直线13.有下列四个命题:①∀x∈R,2x2-3x+4>0;②∀x∈{1,-1,0},2x+1>0;③∃x∈N,使x2≤x;④∃x∈N*,使x为29的约数.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.414.已知命题p:∀x>3,x>m为真命题,则实数m的取值范围是( )A.m≤3B.m≥3C.m<3D.m>315.指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)∀x∈R,x2+2x+1>0;(2)∃x∈R,|x|≤0;(3)∀x∈{3,5,7},3x+1是偶数;(4)∃x∈Q,x2=3.9
能力提升练一、单项选择题1.()以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( ) A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使1x>22.()“若2x-8<0,则p”为真命题,那么p可以是( )A.x<4B.2<x<4C.x<-2D.x>83.()下列命题中是假命题的是( )A.∀x∈R,x2+2>0B.∃x∈Z,x3<1C.∀x∈N,x4≥1D.∃x∈R,x2-3x+2=0二、多项选择题4.(2020江苏南京师范大学附属实验学校高一上月考,)下列命题是真命题的是( )A.∀x∈R,x2+1>0B.∀x∈N,x2≥1C.∃x∈Z,x3<1D.∃x∈Q,x2=35.(2020河北安平中学高一上月考,)下列叙述正确的有( )A.若a=b,则|a|=|b|B.若|a|=|b|,则a=±bC.若a<b,则|a|<|b|D.若|a|>|b|,则a>b9
三、填空题6.()已知下列四个命题:(1)∃x∈Z,x2=3;(2)∃x∈R,x2=3;(3)∀x∈R,x2+x+1>0;(4)∀x∈R,x2+x+1<0.其中真命题有 个. 7.()下列存在量词命题中是真命题的序号是 . ①有些不相似的三角形面积相等;②存在实数x,使x2-x+1<0;③存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大;④有一个实数的倒数是它本身.8.(2020山东青岛高三上期末,)若命题“∃x∈R,x2-2x-a=0”为假命题,则实数a的取值范围是 . 四、解答题9.()用量词符号“∀”“∃”表述下列命题,并判断真假.(1)所有实数x都能使x2+2x+1>0成立;(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;(3)一定有整数x,y,使得3x-2y=10成立;(4)所有的有理数x都能使13x2+12x+1是有理数.9
10.()已知命题p:方程x2-2x-a=0没有实数根;命题q:不等式x2-ax+4>0对一切实数x恒成立.若命题p和q都是真命题,求实数a的取值范围.11.()已知命题p:方程x2+mx+2=0有两个不相等的负实数根;命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若p为假命题,q为真命题,求实数m的取值范围.9
答案全解全析第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 常用逻辑用语1.2.1 命题与量词基础过关练1.C2.B3.C4.B5.D7.C8.C11.D12.D13.C14.A1.C 因为“x>0”不能判断真假,所以不是命题.故选C.2.B ①不能判断真假,不是命题;②变量x的值不确定,无法判断其真假,不是命题;③④都是命题.故选B.3.C 当方程无实数根时,应满足Δ=a2-4<0,结合四个选项知当a=1时符合条件.故选C.4.B 由真命题的定义,可知m<4符合题意.故选B.5.D ①等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等,故①为假命题;②当x,y中一个为零,另一个不为零时,|x|+|y|≠0,故②为假命题;③当c=0时,ac2=bc2,故③为假命题;④菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线不一定互相垂直,故④为假命题.综上,假命题的个数为4.故选D.6.答案 ④解析 ①是命题,但不是真命题,因为{a,b}应有4个子集;②不是命题;③不是命题;④是命题,且是真命题.7.C 选项C中“任选一个”是全称量词,没有“∃”的含义.8.C ①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故①错误;②命题“∀x∈R,x2+2<0”是全称量词命题,故②正确;③命题“∃x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题,故③正确.故选C.9.答案 ①②③;④解析 ①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”,是全称量词命题;②可表述为“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”,是全称量词命题;③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”,是全称量词命题;④可表述为“存在一个正整数,它是偶数”,是存在量词命题.10.答案 ∃x<0,(1+x)(1-9x)>09
解析 因为此命题为存在量词命题,所以命题可改写为“∃x<0,(1+x)(1-9x)>0”.11.D 由1<4x<3,得14<x<34,所以不存在x∈Z,使得1<4x<3,所以A是假命题;由15x+1=0,得x=-115,所以不存在x∈Z,使得15x+1=0,所以B是假命题;当x=0时,x2-1≠0,所以∀x∈R,x2-1=0不成立,所以C是假命题;∀x∈R,x2+x+2=x+122+74≥74>0,所以D是真命题.12.D A中含有全称量词“任意”,是全称量词命题,但a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0恒成立,故A中的命题是假命题;B,D在叙述上没有全称量词,但实际上是指“所有的”,所以B,D中的命题是全称量词命题,菱形的对角线不一定相等,所以B中的命题是假命题,易知D中的命题是真命题;C中的命题虽然是真命题,但是是存在量词命题.故选D.13.C 对于①,该命题是全称量词命题,因为Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故①为真命题;对于②,该命题是全称量词命题,当x=-1时,2x+1>0不成立,故②为假命题;对于③,该命题是存在量词命题,当x=0或x=1时,x2≤x成立,故③为真命题;对于④,该命题是存在量词命题,当x=1时,x为29的约数成立,故④为真命题.故选C.14.A 对任意x>3,x>m恒成立,即大于3的数恒大于m,所以m≤3.15.解析 (1)(3)是全称量词命题,(2)(4)是存在量词命题.(1)∵当x=-1时,x2+2x+1=0,∴该命题是假命题.(2)∵当x=0时,|x|≤0成立,∴该命题是真命题.(3)∵对集合{3,5,7}中的每一个元素,都有3x+1是偶数,∴“∀x∈{3,5,7},3x+1是偶数”是真命题.(4)∵使x2=3成立的实数只有±3,且它们都不是有理数,∴没有任何一个有理数的平方等于3,∴“∃x∈Q,x2=3”是假命题.能力提升练1.B2.A3.C4.AC5.AB一、单项选择题1.B A.该命题是全称量词命题;9
B.x=0时,x2=0,所以B中的命题既是存在量词命题又是真命题;C.因为3+(-3)=0,所以C中的命题是假命题;D.对于任意一个负数x,都有1x<0,所以D中的命题是假命题.故选B.2.A 由2x-8<0,得x<4,故p可以是x<4.故选A.3.C 对于A,∀x∈R,x2+2≥2>0,是真命题;对于B,-1∈Z,当x=-1时,x3<1,是真命题;对于C,0∈N,当x=0时,x4≥1不成立,是假命题;对于D,1∈R,当x=1时,x2-3x+2=0,是真命题.故选C.二、多项选择题4.AC 对于A,因为x2≥0,所以x2+1≥1>0,故A是真命题;对于B,取x=0,则x2<1,不满足x2≥1,故B是假命题;对于C,取x=0,满足x3<1,故C是真命题;对于D,当x2=3时,x=±3,而±3∉Q,故D是假命题.5.AB 对于A,若a=b,则|a|=|b|,成立,故A正确;对于B,若|a|=|b|,则a=±b,成立,故B正确;对于C,当a=-2,b=0时,满足a<b,但不满足|a|<|b|,故C不正确;对于D,当a=-3,b=1时,满足|a|>|b|,但不满足a>b,故D不正确.三、填空题6.答案 2解析 当x2=3时,x=±3,故命题(1)为假命题,命题(2)为真命题;因为函数y=x2+x+1的图像开口向上,且Δ=12-4×1×1=-3<0,所以y的值恒大于0,故命题(3)为真命题,命题(4)为假命题.7.答案 ①③④解析 ①为真命题,只要等底等高的两个三角形,面积就相等,但不一定相似;②为假命题,对任意x∈R,x2-x+1=x-122+34>0,所以不存在实数x,使x2-x+1<0;③为真命题,当实数a大于0时,结论成立;④为真命题,如1的倒数是它本身.故真命题的序号是①③④.9
8.答案 {a|a<-1}解析 若命题“∃x∈R,x2-2x-a=0”为假命题,则Δ=4+4a<0,解得a<-1,所以实数a的取值范围是{a|a<-1}.四、解答题9.解析 (1)∀x∈R,x2+2x+1>0,假命题.(2)∀a,b∈R,方程ax+b=0恰有一个解,假命题.(3)∃x,y∈Z,3x-2y=10,真命题.(4)∀x∈Q,13x2+12x+1∈Q,真命题.10.解析 当命题p是真命题时,应有4+4a<0,解得a<-1;当命题q是真命题时,应有a2-16<0,解得-4<a<4.所以当命题p和q都是真命题时,a应满足a<-1,-4<a<4,即-4<a<-1,因此,实数a的取值范围是(-4,-1).11.解析 若方程x2+mx+2=0有两个不相等的负实数根,则m2-8>0,-m+m2-82<0,-m-m2-82<0,解得m>22.若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,则Δ=16(m-2)2-4×4<0,解得1<m<3.∵p为假命题,q为真命题,∴m≤22,1<m<3,∴1<m≤22.故实数m的取值范围是(1,22].9
