高考理科数学模拟考试试卷数学（理科）试卷一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.若，则_____________．2.若复数满足（是虚数单位），则__________．3.已知，，则____________．4.由，，，，，六个数字组成无重复数字且数字，相邻的四位数共_______个（结果用数字表示）．5.函数的单调递增区间是______________________．6.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量强度，则里氏震级量度可定义为．2022年5月12日，四川汶川发生的地震是级，而1976年唐山地震的震级为级，那么汶川地震所散发的相对能量是唐山地震所散发的相对能量的_____________倍．（精确到个位）7.在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为cm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升cm，则________cm．8.已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，则________________．9.已知函数的值域是，则实数的取值范围是________________．10.有一道解三角形的问题，缺少一个条件．具体如下：“在中，已知，，____________，求角的大小．”11/11\n经推断缺少的条件为三角形一边的长度，且答案提示，试将所缺的条件补充完整．1.如图，设是棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有个顶点；②有条棱；③有个面；④表面积为；⑤体积为．其中正确的结论是____________．（要求填上所有正确结论的序号）2.在解决问题：“证明数集没有最小数”时，可用反证法证明．假设是中的最小数，则取，可得：，与假设中“是中的最小数”矛盾！那么对于问题：“证明数集没有最大数”，也可以用反证法证明．我们可以假设是中的最大数，则可以找到____________（用，表示），由此可知，，这与假设矛盾！所以数集没有最大数．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得4分，否则一律得零分.3.圆与圆的位置关系是()(A)相交(B)相离(C)内切(D)外切4.已知无穷等比数列的前项和为，各项的和为，且，则其首项的取值范围是()(A)(B)(C)(D)5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数11/11\n的图像上有且仅有个整点，则称函数为阶整点函数．有下列函数：①；②；③；④，其中是一阶整点函数的个数为（）（A）（B）（C）（D）1.已知正方形的面积为，平行于轴，顶点、和分别在函数、和（其中）的图像上，则实数的值为()(A)(B)(C)(D)三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.2.(本题满分12分)已知函数，有反函数，且函数的最大值为，求实数的值.3.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，且．（1）若点、分别在棱、上，且，，求证：平面；（2）若点在线段上，且三棱锥的体积为，试求线段的长．4.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列满足，且对任意，都有．11/11\n（1）求证：数列为等差数列；（2）试问数列中任意连续两项的乘积是否仍是中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．2.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.定义区间，，，的长度均为，其中．（1）若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值；（2）已知关于的不等式，的解集构成的各区间的长度和超过，求实数的取值范围；（3）已知关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为，求实数的取值范围．3.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。4.已知等轴双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是坐标原点，且双曲线经过点．（1）若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：①11/11\n；②；③．请确定哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；（1）现要在等轴双曲线上选一处建一座码头，向、两地转运货物．经测算，从到、从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？（2）如图，函数的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）11/11\n理科答案说明1.本解答列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3.第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一、（第1至12题）每题正确的给5分，否则一律得零分.1..2..3..4..5..6..7..8..9..10..11.①②⑤12.答案不惟一，，，……二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.题号13141516代号CBBC三、（第17至21题）17.【解】因为函数有反函数，所以在定义域内是一一对应的函数的对称轴为，所以或……3分若，在区间上函数是单调递增的，所以，解得，符合……7分若，在区间上函数是单调递减的，所以，解得，与矛盾，舍去……11分11/11\n综上所述，满足题意的实数的值为……12分18.【解】（1）以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．……1分则，，，，，因为，，所以，，……3分则，，．……5分，，即垂直于平面中两条相交直线，所以平面．……7分（2），可设，所以向量的坐标为，……8分平面的法向量为．点到平面的距离．……10分中，，，，所以．……12分三棱锥的体积，所以．……13分此时向量的坐标为，，即线段的长为．……14分19.【解】（1）由及可知数列的每一项都是正的．……1分11/11\n，即，……3分所以，……4分所以数列是以为首项，公差为的等差数列．……6分（2）由（1）可得数列的通项公式为，所以．……8分．……10分因为，……11分当时，一定是正整数，所以是正整数．……13分所以是数列中的项，是第项．……14分20.【解】（1）时不合题意；……1分时，方程的两根设为、，则，，由题意知，……2分解得或（舍），……3分所以．……4分（2）因为，……5分11/11\n设，原不等式等价于“，”，……6分因为函数的最小正周期为，的长度恰为函数的一个正周期，所以当时，，的解集构成的各区间的长度和超过，即的取值范围为．……9分（3）先解不等式，整理得，即所以不等式的解集……10分设不等式的解集为，不等式组的解集为不等式等价于……11分所以，，不等式组的解集的各区间长度和为，所以不等式组，当时，恒成立……12分当时，不等式恒成立，得……13分当时，不等式恒成立，即恒成立……14分当时，的取值范围为，所以实数……15分综上所述，的取值范围为……16分21.【解】（1）双曲线的焦点在轴上，所以①不是双曲线的方程……1分双曲线不经过点，所以②不是双曲线的方程……2分11/11\n所以③是等轴双曲线的方程……3分等轴双曲线的焦点、在直线上，所以双曲线的顶点也在直线上，……4分联立方程，解得双曲线的两顶点坐标为，，所以双曲线的实轴长为……5分（2）所求问题即为：在双曲线求一点，使最小．首先，点应该选择在等轴双曲线的中第一象限的那一支上……6分等轴双曲线的的长轴长为，所以其焦距为又因为双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是原点，所以是的一个焦点，……7分设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的定义知：所以，要求的最小值，只需求的最小值……8分直线的方程为，所以直线与双曲线在第一象限的交点为……9分所以码头应在建点处，才能使修建两条公路的总费用最低……10分（3）①，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点；……1分11/11\n②渐近线是和．当时，当无限增大时，无限趋近于，与无限趋近；当无限增大时，无限趋近于．……2分③双曲线的对称轴是和．……3分④双曲线的顶点为，，实轴在直线上，实轴长为……4分⑤虚轴在直线，虚轴长为……5分⑥焦点坐标为，，焦距……6分说明：（i）若考生能把上述六条双曲线的性质都写出，建议此小题给满分8分（ii）若考生未能写全上述六条双曲线的性质，但是给出了的一些函数性质（诸如单调性、最值），那么这些函数性质部分最多给1分本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！11/11
