数系的扩充和复数的概念[A级 基础巩固]1．复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )A．1或－1 B．1C．－1D．0或－1解析：选C 因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1.故选C.2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )A．－2B．C．－D．2解析：选D 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2.故选D.3．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，则下面结论正确的是( )A．A∪B＝CB．∁UA＝BC．A∩(∁UB)＝∅D．B∪(∁UB)＝C解析：选D 由复数的分类可知D项正确．4．已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝( )A．2B．3C．－3D．9解析：选B 因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有解得a＝3.故选B.5．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )A．3－3iB．3＋iC．－＋iD．＋i解析：选A 3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.6．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．解析：易知解得a＝－4.答案：－47．已知a，b∈R，i为虚数单位，复数z＝a＋bi与4－b2＋(4b－8)i均是纯虚数，则4
z＝________．解析：由题意知且∴∴z＝－2i.答案：－2i8．若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为________．解析：依题意知解得即m＝3.答案：39．分别求满足下列条件的实数x，y的值：(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；(2)＋(x2－2x－3)i＝0.解：(1)∵x，y∈R，∴由复数相等的定义得解得(2)∵x∈R，∴由复数相等的定义得即∴x＝3.10．设z＝log(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R)．(1)若z是虚数，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值．解：(1)因为z是虚数，所以其虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是解得1<m<5且m≠4.(2)因为z是纯虚数，所以其实部log(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是解得m＝2.[B级 综合运用]11．(多选)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是( )4
A．若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1B．(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数C．－1没有平方根D．当m＝4时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数解析：选BD 取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错误；∀a∈R，a2＋1>0恒成立，所以(a2＋1)i是纯虚数，故B正确；－1的平方根为±i，故C错误；复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数等价于解得m＝4，故D正确．故选B、D.12．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )A．3＋iB．3－iC．－3－iD．－3＋i解析：选B 由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2ni＝－2－2i.所以解得所以z＝3－i.13．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1为纯虚数，则a＝________．若z1>z2，则a的取值集合为________．解析：由z1为纯虚数，则∴a＝.由z1>z2，得解得a＝0.答案： 014．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．解：∵M∪P＝P，∴M⊆P，∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得解得m＝2.综上可知m＝1或2.[C级 拓展探究]15．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sinθ＋(cosθ－2)i(其中i4
是虚数单位，m，λ，θ∈R)．(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．解：(1)∵z1为纯虚数，∴解得m＝－2.(2)由z1＝z2，得∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sinθ－1)2＋2.∵－1≤sinθ≤1，∴当sinθ＝1时，λmin＝2；当sinθ＝－1时，λmax＝6.∴实数λ的取值范围是[2，6]．4
