函数奇偶性的应用(习题课)[A级 基础巩固]1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)恒成立，且f(1)＝1，则f(3)＋f(4)＋f(5)的值为( )A．－1 B．1C．2D．0解析：选D ∵f(x)是R上的奇函数，f(1)＝1，∴f(－1)＝－f(1)＝－1，f(0)＝0.依题意得f(3)＝f(－1＋4)＝－f(1)＝－1，f(4)＝f(0＋4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1＋4)＝f(1)＝1.因此，f(3)＋f(4)＋f(5)＝－1＋0＋1＝0，故选D.2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是( )A.B.C.D.解析：选A 由题意得|2x－1|<，即－<2x－1<，即<2x<，解得<x<，故选A.3．若奇函数f(x)在区间[2，5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有( )A．最小值6B．最小值－6C．最大值－6D．最大值6解析：选C 因为奇函数f(x)在[2，5]上有最小值6，所以可设a∈[2，5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.4．(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )A．这个函数有两个单调递增区间6
B．这个函数有三个单调递减区间C．这个函数在其定义域内有最大值7D．这个函数在其定义域内有最小值－7解析：选BC 根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B、C.5．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．|f(x)|g(x)是奇函数B．f(x)|g(x)|是奇函数C．f(x)＋|g(x)|是偶函数D．|f(x)|＋g(x)是偶函数解析：选BD A中，令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴A中函数是偶函数，A错误；B中，令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴B中函数是奇函数，B正确；C中，由f(x)是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，由g(x)是偶函数，可得g(－x)＝g(x)，由f(－x)＋|g(－x)|＝－f(x)＋|g(x)|知C错误；D中，由|f(－x)|＋g(－x)＝|－f(x)|＋g(x)＝|f(x)|＋g(x)，知D正确．故选B、D.6．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________．解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.答案：－x＋17．若函数f(x)＝为奇函数，则f[g(－1)]＝________．解析：根据题意，当x<0时，f(x)＝g(x)，又f(x)为奇函数，∵g(－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－(12＋2×1)＝－3，则f[g(－1)]＝f(－3)＝－f(3)＝－(32＋2×3)＝－15.答案：－158．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是____________．6
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，又∵f(x)＝－x2＋2为偶函数，∴f(2)＝f(－2)．即f(－2)<f(1)<f(0)．答案：f(－2)<f(1)<f(0)9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－4x＋3.(1)求f[f(－1)]的值；(2)求函数f(x)的解析式．解：(1)∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又∵当x>0时，f(x)＝x2－4x＋3，∴f(－1)＝－f(1)＝0，∴f[f(－1)]＝0.(2)由(1)可知，当x＝0时，f(x)＝0；当x<0时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－(－x)2＋4×(－x)－3＝－x2－4x－3.综上，f(x)＝10．已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(1)＝f(3)＝－3.(1)求b，c的值；(2)若函数g(x)是奇函数，当x≥0时，g(x)＝f(x)．①直接写出g(x)的单调递减区间为________；②若g(a)>a，求a的取值范围．解：(1)由f(1)＝f(3)＝－3，得解得(2)①[－2，2]．②由(1)知f(x)＝x2－4x，则当x≥0时，g(x)＝x2－4x；6
当x<0时，－x>0，则g(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，因为g(x)是奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝－x2－4x.若g(a)>a，则或解得a>5或－5<a<0.综上，a的取值范围为(－5，0)∪(5，＋∞)．[B级 综合运用]11．设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )A．(－1，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，2)C．(－2，0)∪(2，＋∞)D．(－2，0)∪(0，2)解析：选C 根据题意，偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－2)＝0，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝f(2)＝0，作出函数f(x)的草图如图所示，又由xf(x)<0，可得或由图可得－2<x<0或x>2，即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选C.12．已知函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数，且f(x)＋g(x)＝x2－－2，则f(2)＝( )A．－B.C．－3D.解析：选A ∵f(x)＋g(x)＝x2－－2，①∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)2－－2＝x2－－2，6
又∵函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝x2－－2，②联立①②消去g(x)，得f(x)＝－＋，∴f(2)＝－＋＝－.故选A.13．函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是________．解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：{x|1≤x≤3}14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．解：(1)因为a>b，所以a－b>0，由题意得>0，所以f(a)＋f(－b)>0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．(2)由(1)知f(x)为R上的增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，6
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.所以实数m的取值范围为(－∞，4]．[C级 拓展探究]15．(2021·安徽师大附中高一月考)已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.(1)求函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；(3)解关于实数t的不等式f(t－1)＋f(t)<0.解：(1)因为函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，所以f(0)＝0，得b＝0.又知f＝，所以＝，解得a＝1，所以f(x)＝.(2)证明：∀x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝－＝，由于－1<x1<x2<1，所以－1<x1x2<1，即1－x1x2>0，所以>0，即f(x2)－f(x1)>0，所以f(x)在(－1，1)上是增函数．(3)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(t－1)＋f(t)<0等价于f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，即f(t－1)<f(－t)，又由(2)知f(x)在(－1，1)上是增函数，所以解得0<t<，即原不等式的解集为.6
