对数的概念[A级 基础巩固]1．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有( )A．e0＝1与ln1＝0B．log39＝2与9＝3C．8＝与log8＝－D．log77＝1与71＝7解析：选ACD log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误，A、C、D正确．2．方程2log3x＝的解是( )A．x＝ B．x＝C．x＝D．x＝9解析：选A ∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.3．在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是( )A.∪B.∪C.D.解析：选B 要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义，则解得<a<或<a<，故选B.4．若log3(log2x)＝1，则x＝( )5
A.B.C.D.解析：选C ∵log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝23＝8，则x－＝＝.5．若log32＝x，则3x＋9x的值为( )A．6B．3C.D.解析：选A 由log32＝x得3x＝2，因此9x＝(3x)2＝4，所以3x＋9x＝2＋4＝6，故选A.6．已知函数y＝ax－2＋3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，点P在幂函数y＝f(x)的图象上，则log3f(3)＝________．解析：函数y＝ax－2＋3中，令x－2＝0，解得x＝2，此时y＝1＋3＝4，所以定点P(2，4)．设幂函数y＝f(x)＝xα(α≠0)，则2α＝4，解得α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(3)＝32＝9，所以log3f(3)＝log39＝2.答案：27．已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n等于________．解析：∵loga＝m，loga3＝n，∴am＝，an＝3.故am＋2n＝am·(an)2＝×32＝.答案：8．使方程(lgx)2－lgx＝0的x的值为________．解析：由lgx(lgx－1)＝0得lgx＝0或lgx＝1，即x＝1或x＝10.答案：1或109．求下列各式中的x的值：(1)logx27＝；5
(2)log2x＝－；(3)log5(log2x)＝0；(4)x＝log27.解：(1)由logx27＝，得x＝27，∴x＝27＝32＝9.(2)由log2x＝－，得2＝x，∴x＝＝.(3)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1.∴x＝2.(4)由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2，则3x＝－2，∴x＝－.10．(1)证明：对数恒等式alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；(2)求4和2＋3的值．解：(1)证明：由ax＝N得x＝logaN，把后者代入前者得alogaN＝N.(2)4＝·＝2×4＝8.23＋log23＋32－log39＝23×2log23＋＝8×3＋＝25.[B级 综合运用]11．(2021·江苏海安高一月考)设x＝log32，则的值为( )A.B．－C.D.解析：选A ∵x＝log32，∴3x＝2，32x＝4，33x＝8.5
∴＝＝.故选A.12．已知f(2x＋1)＝，则f(4)＝( )A.log25B.log23C.D.解析：选B 令2x＋1＝4，得x＝log23，所以f(4)＝log23.13．若logx＝m，logy＝m＋2，则的值为________．解析：∵logx＝m，∴＝x，x2＝.∵logy＝m＋2，∴＝y，y＝.∴＝＝＝＝16.答案：1614．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求·y的值．解：∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，∴x＝43＝64.由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，∴y＝24＝16.因此·y＝×16＝8×8＝64.[C级 拓展探究]15．已知logab＝logba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．试探究a与b的关系，并给出证明．解：a＝b或a＝.证明如下：5
设logab＝logba＝k，则b＝ak，a＝bk，所以b＝(bk)k＝bk2，因为b>0，且b≠1，所以k2＝1，即k＝±1.当k＝－1时，a＝；当k＝1时，a＝b.所以a＝b或a＝.5
