对数函数的概念[A级 基础巩固]1．函数f(x)＝＋lg(x＋1)的定义域为( )A．[－1，3) B．(－1，3)C．(－1，3]D．[－1，3]解析：选C 根据题意，得解得－1<x≤3，∴函数f(x)的定义域为(－1，3]．2．(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有( )A．y＝logπxB．y＝logxC．y＝log4x2D．y＝log2(x＋1)解析：选AB 判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A、B正确．3．下列函数中，与函数y＝x相等的是( )A．y＝()2B．y＝C．y＝2log2xD．y＝log22x解析：选D 因为y＝log22x的定义域为R，且根据对数恒等式知y＝x.4．(2021·湖北荆门高一月考)函数f(x)＝(a2＋a－5)·logax为对数函数，则f等于( )A．3B．－3C．－log36D．－log38解析：选B ∵函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，∴解得a＝2，∴f(x)＝log2x，∴f＝log2＝－3.故选B.5．函数f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a的值为( )A．0B．10C．1D.解析：选C 由已知，得a－lgx≥0的解集为(0，10]，由a－lgx≥0，得lgx≤a，又当0<x≤10时，lgx≤1，所以a＝1.故选C.6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________．解析：由对数函数的定义可知，a＞0，5
a≠1，))解得a＝5.答案：57．已知函数f(x)＝log3x，则方程[f(x)]2＝2－log9(3x)的解集是________．解析：由已知得(log3x)2＝2－log9(3x)，∴(log3x)2＝2－log3(3x)＝2－(log33＋log3x)，即(log3x)2＋log3x－＝0，令t＝log3x，则方程可化为t2＋t－＝0，解得t＝1或t＝－，∴x＝3或x＝，∴方程[f(x)]2＝2－log9(3x)的解集是.答案：8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：由题意得5＝2log4x－2，即7＝log2x，得x＝128.答案：1289．求下列函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝＋ln(x＋1)．解：(1)要使函数有意义，需即即－3<x<－2或x≥2，故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．(2)要使函数有意义，需即∴－1<x<2.故所求函数的定义域为(－1，2)．5
10．若函数y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)的图象过点(－1，0)．(1)求a的值；(2)求函数的定义域．解：(1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，且a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，所以函数的定义域为{x|x>－2}．[B级 综合运用]11．函数y＝的定义域为( )A．(0，1)∪(1，2)B．[0，2)C．(0，2]D．[0，1)∪(1，2)解析：选D 由题意得解得所以函数的定义域为[0，1)∪(1，2)．12．满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”的函数f(x)可以是( )A．f(x)＝x2B．f(x)＝2xC．f(x)＝log2xD．f(x)＝elnx解析：选C ∵对数运算律中有logaM＋logaN＝loga(MN)，∴f(x)＝log2x满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)”．13．已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f(x)＝________，f＝________．解析：设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f＝loga＝－2，得a＝，所以f(x)＝logx，所以f＝log＝－4.答案：logx －414．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的汽染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5h过滤后还剩余90%的污染物．5
(1)求常数k的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1h，参考数据：ln0.2≈－1.61，ln0.3≈－1.20，ln0.4≈－0.92，ln0.5≈－0.69，ln0.9≈－0.11)解：(1)由已知得，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝90%P0.于是有90%P0＝P0e－5k，解得k＝－ln0.9(或k≈0.022)．(2)由(1)知P＝P0et，当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0et，解得t＝≈＝≈42.故污染物减少到40%至少需要42h.[C级 拓展探究]15．(2021·山东菏泽高一月考)设全集U＝R，函数f(x)＝＋lg(a＋3－x)的定义域为集合A，集合B＝.命题p：若________，则A∩B≠∅.从①a＝－5；②a＝－3；③a＝2，这三个条件中选择一个条件补充到上面的命题p中，使命题p为真命题，说明理由，并求A∩(∁UB)．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：要使函数f(x)有意义，只需解得a≤x<a＋3，即A＝[a，a＋3)．由≤2x≤32，得－2≤x≤5，即B＝[－2，5]．选择第①个条件：当a＝－5时，A＝[－5，－2)，∴A∩B＝∅，不满足条件．选择第②个条件：当a＝－3时，A＝[－3，0)，∴A∩B＝[－2，0)，满足条件．∵∁UB＝(－∞，－2)∪(5，＋∞)，5
∴A∩(∁UB)＝[－3，－2)．选择第③个条件：当a＝2时，A＝[2，5)，∴A∩B＝[2，5)，满足条件．∵∁UB＝(－∞，－2)∪(5，＋∞)，∴A∩(∁UB)＝∅.5
