奇偶性的概念[A级 基础巩固]1．已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b等于( )A．－1 B．1C．0D．2解析：选A 因为该奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，且奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b中一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，故选A.2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )解析：选B 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数，故选B.3．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有( )A．f(x)f(－x)>0B．f(x)f(－x)<0C．f(x)<f(－x)D．f(x)>f(－x)解析：选B ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．又f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.4．若函数f(x)＝则f(x)( )A．是偶函数B．是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数解析：选B 作出函数f(x)的图象，如图所示，可以看出该图象关于原点对称，故f(x)为奇函数．5．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )5
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：选A 因为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．6．若函数y＝(x－1)(x＋a)为偶函数，则a＝________．解析：∵函数y＝(x－1)(x＋a)＝x2＋(a－1)x－a为偶函数，∴x2－(a－1)x－a＝x2＋(a－1)x－a恒成立，∴a－1＝0，∴a＝1.答案：17．(2021·北京通州高一月考)能说明“若f(x)是奇函数，则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)＝________．解析：举出x＝0不在定义域内的奇函数即可，如f(x)＝.答案：(答案不唯一)8．设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．解析：由f(x)在[0，6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0，3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f(x)<0的解集为(－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为(－6，－3)∪(0，3)．答案：(－6，－3)∪(0，3)9．已知函数f(x)＝x＋(a>0)．(1)若f(1)＝3，求a的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明．解：(1)由题意知，f(1)＝1＋a＝3，所以a＝2>0满足题意．5
(2)函数f(x)为奇函数，证明如下：函数f(x)＝x＋(a>0)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且关于原点对称．又因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解：(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴对称点为P′(x，f(x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．[B级 综合运用]11．(多选)若f(x)为R上的奇函数，则下列四个说法正确的是( )A．f(x)＋f(－x)＝0B．f(x)－f(－x)＝2f(x)C．f(x)·f(－x)<0D.＝－1解析：选AB ∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x5
)＝0，故A正确；f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故B正确；当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故C不正确；当x＝0时，的分母为0，无意义，故D不正确．12．已知函数f(x)＝mx2＋nx＋2m＋n是偶函数，其定义域为[m＋1，－2n＋2]，则( )A．m＝0，n＝0B．m＝－3，n＝0C．m＝1，n＝0D．m＝3，n＝0解析：选B 由f(x)＝mx2＋nx＋2m＋n是偶函数，得n＝0.又函数的定义域为[m＋1，－2n＋2]，所以m＋1＝2n－2，则m＝－3.13．函数f(x)＝的定义域为______，是________函数(填“奇”或“偶”)．解析：依题意有解得－2≤x≤2且x≠0，∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]．∵f(x)＝＝＝－，定义域关于原点对称，∴f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．答案：[－2，0)∪(0，2] 奇14．函数f(x)＝是定义在(－2，2)上的奇函数，且f(1)＝.(1)求f(x)的解析式；(2)判断并证明f(x)的单调性．解：(1)根据题意，得函数f(x)＝是定义在(－2，2)上的奇函数，则f(0)＝＝0，解得b＝0.又由f(1)＝，得f(1)＝＝，解得a＝1.所以f(x)＝.(2)f(x)在区间(－2，2)上为增函数．证明如下：设－2<x1<x2<2，则f(x1)－f(x2)＝.由－2<x1<x2<2，得4＋x1x2>0，x1－x2<0，4－x>0，4－x>0，所以f(x1)－f(x2)<0，所以函数f(x)在(－2，2)上为增函数．5
[C级 拓展探究]15．设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；(2)若f(x)是偶函数，求a的值；(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间．解：(1)我同意王鹏同学的观点．理由如下：假设f(x)是奇函数，则由f(a)＝a2＋3，f(－a)＝a2－4|a|＋3，可得f(a)＋f(－a)＝0，即a2－2|a|＋3＝0，显然a2－2|a|＋3＝0无解，∴f(x)不可能是奇函数．(2)若f(x)为偶函数，则有f(a)＝f(－a)，即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0.经验证，此时f(x)＝x2－2|x|＋3是偶函数．(3)由(2)知f(x)＝x2－2|x|＋3，其图象如图所示，由图可得，其单调递增区间是(－1，0)和(1，＋∞)．5
